Pochodne i Całki
Pochodne i całki to fundamentalne narzędzia analizy matematycznej. Pochodna opisuje szybkość zmian funkcji, podczas gdy całka pozwala obliczyć pole pod wykresem funkcji lub sumować nieskończenie małe elementy. Znajomość wzorów na pochodne funkcji elementarnych oraz reguł różniczkowania i całkowania jest niezbędna do rozwiązywania zadań z matematyki na poziomie rozszerzonym i studiów. Poniżej znajdziesz wszystkie kluczowe wzory wraz z wyjaśnieniami.
Pochodne funkcji elementarnych
Pochodna funkcji stałej
Pochodna funkcji potęgowej
Pochodna funkcji wykładniczej e^x
Pochodna funkcji wykładniczej a^x
Pochodna logarytmu naturalnego
Pochodna logarytmu
Pochodna funkcji sinus
Pochodna funkcji cosinus
Pochodna funkcji tangens
Pochodna funkcji cotangens
Pochodna pierwiastka
Pochodna funkcji odwrotności
Reguły różniczkowania
Całki nieoznaczone podstawowe
Całka z funkcji stałej
Całka z funkcji potęgowej
Całka z funkcji 1/x
Całka z funkcji wykładniczej e^x
Całka z funkcji wykładniczej a^x
Całka z funkcji sinus
Całka z funkcji cosinus
Całka z funkcji 1/cos²x
Całka z funkcji 1/sin²x
Całka z funkcji 1/√(1-x²)
Całka z funkcji 1/(1+x²)
Właściwości i metody całkowania
Zastosowania pochodnych
Warunek na ekstremum lokalne
Warunek dostateczny na minimum
Warunek dostateczny na maksimum
Monotoniczność funkcji (rosnąca)
Monotoniczność funkcji (malejąca)
Równanie stycznej do wykresu
Wypukłość funkcji (funkcja wypukła)
Wypukłość funkcji (funkcja wklęsła)
Punkt przegięcia
Zastosowania całek
Szybki przewodnik
Pochodna
Pochodna funkcji w punkcie to granica stosunku przyrostu funkcji do przyrostu argumentu. Geometrycznie jest to współczynnik kierunkowy stycznej do wykresu funkcji w danym punkcie.
Całka nieoznaczona
Całka nieoznaczona to funkcja pierwotna, czyli funkcja, której pochodna daje funkcję podcałkową. Zawsze dodajemy stałą C, ponieważ pochodna stałej równa się zero.
Całka oznaczona
Całka oznaczona to pole pod wykresem funkcji między dwoma punktami. Obliczamy ją korzystając z twierdzenia Newtona-Leibniza jako różnicę wartości funkcji pierwotnej w granicach całkowania.
Reguła iloczynu
Pochodna iloczynu to nie iloczyn pochodnych! Używamy wzoru: pochodna pierwszej razy druga plus pierwsza razy pochodna drugiej.
Funkcja złożona
Pochodna funkcji złożonej to pochodna funkcji zewnętrznej (obliczona dla funkcji wewnętrznej) pomnożona przez pochodną funkcji wewnętrznej.
Ekstremum funkcji
Aby znaleźć ekstremum funkcji, szukamy punktów, w których pochodna jest równa zero, a następnie badamy jej znak lub wartość drugiej pochodnej.