Całkowanie przez części
gdzie u = u(x) i v = v(x) to funkcje różniczkowalne zmiennej x, du = u'(x) dx, a dv = v'(x) dx
Czym jest całkowanie przez części?
Całkowanie przez części to jedna z podstawowych metod rachunku całkowego, pozwalająca obliczać całki z iloczynów funkcji. Gdy wyrażenie podcałkowe ma postać iloczynu dwóch funkcji, których nie da się scałkować bezpośrednio ani przez liniowość, metoda ta przekształca trudną całkę w prostszą. Nazwa "przez części" odnosi się do rozbicia wyrażenia podcałkowego na dwie "części": u i dv.
Wzór wyprowadza się wprost z reguły różniczkowania iloczynu (reguły Leibniza). Skoro pochodna iloczynu dwóch funkcji wynosi:
to po scałkowaniu obu stron otrzymujemy:
Przenosząc jedną z całek na drugą stronę i stosując zapis różniczkowy (du = u' dx, dv = v' dx), otrzymujemy wzór na całkowanie przez części: ∫u dv = uv - ∫v du. Kluczem do sukcesu jest taki dobór u i dv, aby nowa całka ∫v du była prostsza od wyjściowej.
Elementy wzoru
Funkcja u(x), którą wybieramy jako pierwszy czynnik. Powinna to być funkcja, której pochodna u'(x) upraszcza wyrażenie. Typowo: logarytm, funkcja odwrotna trygonometryczna lub wielomian.
Różniczka drugiego czynnika, dv = v'(x) dx. Musi dać się łatwo scałkować, aby wyznaczyć v. Typowo: ex dx, sin x dx, cos x dx lub xn dx.
Różniczka funkcji u, czyli du = u'(x) dx. Obliczamy ją przez zróżniczkowanie wybranej funkcji u. Im prostsze du, tym łatwiejsza będzie nowa całka.
Funkcja pierwotna dv, czyli v = ∫dv. Wyznaczamy ją przez scałkowanie dv. Stałą całkowania pomijamy na tym etapie (przyjmujemy C = 0).
Nowa całka powstająca po zastosowaniu wzoru. Powinna być prostsza od wyjściowej ∫u dv. Jeśli nie jest, warto rozważyć inny dobór u i dv.
Interpretacja wzoru
Reguła LIATE - jak dobierać u: Istnieje praktyczna reguła pomagająca w wyborze funkcji u. Funkcję u wybieramy zgodnie z priorytetem: Logarytmy (L) → Funkcje odwrotne trygonometryczne, np. arctan, arcsin (I) → Funkcje Algebraiczne, np. wielomiany (A) → Funkcje Trygonometryczne (T) → Funkcje Eksponencjalne (E). Funkcja wyżej na liście powinna być wybrana jako u, a pozostała część jako dv.
Interpretacja geometryczna: Wzór ∫u dv = uv - ∫v du ma elegancką interpretację na płaszczyźnie. Jeśli krzywa jest opisana parametrycznie przez (u, v), to ∫u dv oznacza pole pod krzywą względem osi v, a ∫v du - pole względem osi u. Ich suma daje prostokąt u·v, stąd ∫u dv + ∫v du = uv.
Strategia upraszczania: Całkowanie przez części zamienia jedną całkę na inną. Metoda jest skuteczna, gdy nowa całka ∫v du jest prostsza od wyjściowej. Czasem trzeba zastosować wzór wielokrotnie (np. ∫x² ex dx wymaga dwukrotnego użycia), a niekiedy po dwóch zastosowaniach wyjściowa całka pojawia się ponownie, co pozwala ją wyznaczyć z równania algebraicznego.
Wizualizacja
Poniższy wykres przedstawia przykład całkowania przez części: ∫x·ex dx. Widoczna jest funkcja podcałkowa f(x) = x·ex (linia przerywana) oraz jej funkcja pierwotna F(x) = (x-1)·ex (linia ciągła), wyznaczona metodą przez części z u = x, dv = ex dx.
Funkcja podcalkowa (przerywana)
Funkcja pierwotna (C = 0)
Wybrana funkcja u
Scalkowane dv
Kiedy stosować wzór?
- Iloczyn wielomianu i funkcji wykładniczej - np. ∫x·ex dx, ∫x²·ex dx. Wielomian pełni rolę u (jego stopień maleje przy różniczkowaniu), a ex to dv
- Iloczyn wielomianu i funkcji trygonometrycznej - np. ∫x·sin x dx, ∫x²·cos x dx. Wielomian jako u, funkcja trygonometryczna jako dv
- Całki z logarytmem - np. ∫ln x dx, ∫x·ln x dx. Logarytm zawsze pełni rolę u, ponieważ jego pochodna (1/x) upraszcza wyrażenie
- Całki z funkcjami odwrotnymi trygonometrycznymi - np. ∫arctan x dx, ∫arcsin x dx. Funkcja odwrotna trygonometryczna jako u, reszta jako dv
- Iloczyn ex i funkcji trygonometrycznej - np. ∫ex·sin x dx. Wymaga dwukrotnego zastosowania wzoru i rozwiązania równania algebraicznego
Przykłady obliczeniowe
Przykład 1: Iloczyn x i ex
Zadanie: Oblicz całkę ∫x·ex dx.
Rozwiązanie:
Przyjmujemy u = x (wielomian, łatwa pochodna) oraz dv = ex dx (łatwa do scałkowania):
Sprawdzenie: [ex(x-1)]' = ex(x-1) + ex = ex·x - ex + ex = x·ex. Wynik jest poprawny.
Odpowiedź: ∫x·ex dx = ex(x - 1) + C
Przykład 2: Całka z logarytmu naturalnego
Zadanie: Oblicz całkę ∫ln x dx.
Rozwiązanie:
Pozornie nie ma tu iloczynu, ale możemy zapisać ln x = ln x · 1. Przyjmujemy u = ln x i dv = dx:
Sprawdzenie: (x ln x - x + C)' = ln x + x·(1/x) - 1 = ln x + 1 - 1 = ln x. Wynik jest poprawny.
Odpowiedź: ∫ln x dx = x ln x - x + C
Przykład 3: Iloczyn x i sin x
Zadanie: Oblicz całkę ∫x·sin x dx.
Rozwiązanie:
Przyjmujemy u = x (wielomian, pochodna upraszcza) i dv = sin x dx:
Sprawdzenie: (-x cos x + sin x)' = -cos x + x sin x + cos x = x sin x. Wynik jest poprawny.
Odpowiedź: ∫x·sin x dx = -x cos x + sin x + C
Przykład 4: Dwukrotne zastosowanie - x²·ex
Zadanie: Oblicz całkę ∫x²·ex dx.
Rozwiązanie:
Stosujemy wzór dwukrotnie. Pierwsze zastosowanie: u = x², dv = ex dx:
Drugie zastosowanie do ∫x·ex dx (z Przykładu 1): ∫x·ex dx = ex(x - 1). Zatem:
Sprawdzenie: [ex(x² - 2x + 2)]' = ex(x² - 2x + 2) + ex(2x - 2) = ex·x². Wynik jest poprawny.
Odpowiedź: ∫x²·ex dx = ex(x² - 2x + 2) + C
Częste błędy
Zły dobór u i dv
Najczęstszy błąd to odwrotny wybór u i dv, który prowadzi do trudniejszej całki zamiast prostszej. Na przykład w ∫x·ex dx wybranie u = ex i dv = x dx daje ∫(x²/2)·ex dx - całkę trudniejszą od wyjściowej.
Zasada: stosuj regułę LIATE. W ∫x·ex dx wielomian x (A) ma wyższy priorytet niż ex (E), więc u = x.
Zapominanie o znaku minus
Wzór ∫u dv = uv - ∫v du zawiera minus przed drugą całką. Pominięcie tego znaku lub błąd przy mnożeniu minusów (np. gdy v = -cos x) to częsty problem.
W ∫x sin x dx: v = -cos x, więc uv = -x cos x. Nowa całka to -∫(-cos x) dx = +∫cos x dx. Podwójny minus daje plus.
Pominięcie stałej całkowania przy wyznaczaniu v
Przy wyznaczaniu v z dv pomijamy stałą C (przyjmujemy C = 0). Dodanie stałej na tym etapie nie jest błędem, ale niepotrzebnie komplikuje obliczenia. Stałą C dodajemy dopiero na końcu.
Z dv = ex dx bierzemy v = ex (nie v = ex + C). Dodanie stałej na tym etapie się skróci, ale zaciemnia rachunek.
Nieskończona pętla przy wielokrotnym stosowaniu
Przy dwukrotnym zastosowaniu wzoru (np. ∫ex sin x dx) trzeba zachować konsekwentny wybór. Jeśli za pierwszym razem ex jest u, to za drugim razem też musi być u. Zmiana ról "cofa" obliczenia do punktu wyjścia.
W ∫ex sin x dx: za pierwszym razem u = ex, za drugim razem znów u = ex. Po dwóch krokach rozwiązujemy równanie algebraiczne.
Porady i wskazówki
Zapamiętaj LIATE: Reguła LIATE (Logarytmy, Inverse trygonometryczne, Algebraiczne, Trygonometryczne, Eksponencjalne) podpowiada, co wybrać jako u. Funkcja wyżej na liście powinna być u, niżej - powinna wejść do dv.
Tabelka u-dv: Przed rozpoczęciem obliczeń zapisz tabelkę z czterema elementami: u, du, dv, v. Wyznacz du (pochodna u) i v (całka dv). Dopiero potem podstaw do wzoru. To eliminuje wiele błędów rachunkowych.
Sztuczka z "powracającą" całką: Przy ∫ex sin x dx po dwóch zastosowaniach wzoru wyjściowa całka pojawia się ponownie po prawej stronie. Oznacz ją jako I i rozwiąż równanie: I = ... - I, stąd 2I = ..., więc I = .../2.
Sprawdzaj różniczkowaniem: Wynik całkowania przez części bywa skomplikowany. Zawsze oblicz pochodną odpowiedzi, aby upewnić się, że otrzymujesz funkcję podcałkową. To najskuteczniejsza metoda weryfikacji.
Przypadki szczególne
Całka z samego logarytmu
Całka ∫ln x dx nie wygląda jak iloczyn, ale stosujemy trik: ln x = ln x · 1. Przyjmujemy u = ln x i dv = dx. Jest to klasyczny przykład, w którym całkowanie przez części jest jedyną metodą.
Analogicznie: ∫arctan x dx = x·arctan x - (1/2) ln(1+x²) + C, też z u = arctan x, dv = dx.
Powracająca całka - metoda równania algebraicznego
W całkach typu ∫ex sin x dx po dwukrotnym zastosowaniu wzoru wyjściowa całka pojawia się ponownie. Oznaczamy ją przez I i rozwiązujemy równanie.
Przebieg: I = -ex cos x + ex sin x - I, stąd 2I = ex(sin x - cos x), więc I = ex(sin x - cos x)/2 + C.
Wzór na wielokrotne zastosowanie (metoda tabelkowa)
Dla całek ∫xn·ex dx lub ∫xn·sin x dx, gdzie n jest liczbą naturalną, można użyć metody tabelkowej. Tworzymy kolumny z kolejnymi pochodnymi u i kolejnymi całkami dv, mnożąc je na przemian ze zmieniającym się znakiem.
Przykład: ∫x³ ex dx = ex(x³ - 3x² + 6x - 6) + C. Kolejne wyrazy to pochodne x³ z naprzemiennymi znakami.
Całka oznaczona przez części
Wzór na całkowanie przez części ma swój odpowiednik dla całek oznaczonych. Wyrażenie uv obliczamy na granicach całkowania.
Przykład: ∫01 x·ex dx = [x·ex]01 - ∫01 ex dx = (1·e - 0) - (e - 1) = e - e + 1 = 1.