Zadania optymalizacyjne - zadania z rozwiązaniami krok po kroku
25 zadań, w których szukasz największego pola, najmniejszego kosztu albo najkrótszego czasu. W pierwszych 13 wystarczy wierzchołek paraboli, tak jak na maturze podstawowej. Pozostałe wymagają pochodnej i mają przy tytule znak R. Najpierw spróbuj sam, a jeśli utkniesz, otwórz wskazówkę. Rozwiązanie pokazuje każdy krok, a przy wielu zadaniach jest też rysunek albo wykres funkcji celu.
Rozwiązania krok po kroku: https://tablicematematyczne.pl/zadania/zadania-optymalizacyjne
Widoczne zadania: 25 z 25
Jak rozwiązać zadanie optymalizacyjne
Zadanie optymalizacyjne polega na znalezieniu największej albo najmniejszej wartości jakiejś wielkości: pola, objętości, zysku, kosztu, czasu lub odległości. Tę wielkość zapisuje się jako funkcję jednej zmiennej, nazywaną funkcją celu, i szuka się jej ekstremum w dziedzinie, która wynika z treści. Wszystkie zadania na tej stronie rozwiązujemy według tego samego schematu.
Krok 1. Zmienna. Oznacz przez jedną wielkość z treści, najlepiej taką, przez którą łatwo wyrazić pozostałe. Przy zadaniach geometrycznych zrób rysunek i zaznacz na nim .
Krok 2. Funkcja celu. Zapisz wielkość, o którą pyta zadanie, jako funkcję . Jeśli we wzorze są dwie zmienne, wyznacz jedną z nich z warunku podanego w treści, na przykład z długości siatki, sumy liczb albo objętości.
Krok 3. Dziedzina. Długości, czasy i ceny muszą być dodatnie, a treść często dokłada własne ograniczenia. Zapisz dziedzinę, zanim zaczniesz szukać ekstremum.
Krok 4. Ekstremum. Dla funkcji kwadratowej policz i sprawdź, czy należy do dziedziny. Dla innych funkcji rozwiąż i zbadaj znak pochodnej po obu stronach. Na przedziale domkniętym porównaj jeszcze wartości na końcach.
Krok 5. Odpowiedź. Wróć do pytania z treści. Zwykle trzeba podać wymiary, cenę albo pole, a samo jest tylko krokiem pośrednim.
Przykład: prostokąt o obwodzie 20 cm i największym polu. Jeśli jeden bok ma długość , drugi ma , a pole wynosi dla . Parabola ma ramiona w dół, więc największa wartość leży w wierzchołku . Oba boki mają wtedy po 5 cm. Spośród prostokątów o obwodzie 20 cm największe pole, równe 25 cm², ma kwadrat.
Funkcja celu . Pogrubiona część wykresu odpowiada dziedzinie, a najwyższy punkt to wierzchołek .
Sposób szukania ekstremum zależy od poziomu. Na maturze podstawowej funkcja celu jest kwadratowa, a na rozszerzonej może być dowolna i wtedy potrzebna jest pochodna. Różnice zebrano w tabeli.
Jak szukać ekstremum funkcji celu
Poziom podstawowy
Poziom rozszerzony
Funkcja celu
kwadratowa:
wielomian, funkcja wymierna, funkcja z pierwiastkiem
Gdzie szukać ekstremum
w wierzchołku , jeśli należy do dziedziny, oraz na końcach przedziału
w punktach, w których , oraz na końcach przedziału
A. Zadania optymalizacyjne z liczbami i odległościami
Najprostsze zadania optymalizacyjne dotyczą samych liczb. Warunek z treści pozwala wyrazić jedną liczbę przez drugą i zostaje funkcja kwadratowa jednej zmiennej. W zadaniu 4 ten sam pomysł działa w układzie współrzędnych.
Liczby i spełniają warunek . Dla jakich i suma jest najmniejsza? Oblicz tę sumę.
Wskazówka
Wyznacz z warunku i wstaw do sumy kwadratów. Zostanie funkcja kwadratowa zmiennej .
Rozwiązanie krok po kroku
Jedna zmienna z warunku.
Kwadrat różnicy i redukcja wyrazów podobnych.
Ramiona w górę, najmniejsza wartość w wierzchołku.
Druga liczba i najmniejsza suma.
Wynik ma interpretację geometryczną. Wyrażenie to kwadrat odległości punktu od początku układu współrzędnych, a warunek opisuje prostą. Szukaliśmy więc punktu tej prostej leżącego najbliżej punktu . Tak samo działa następne zadanie.
Odpowiedź: , , najmniejsza suma kwadratów wynosi 20.
Na prostej wyznacz punkt, który leży najbliżej początku układu współrzędnych. Oblicz odległość tego punktu od początku układu.
Wskazówka
Punkt prostej ma współrzędne . Zamiast odległości szukaj najmniejszego kwadratu odległości: nie ma w nim pierwiastka, a najmniejszy jest dla tego samego .
Rozwiązanie krok po kroku
Kwadrat odległości od punktu ze wzoru na odległość dwóch punktów.
Ramiona w górę, więc w wierzchołku jest minimum.
Druga współrzędna punktu.
Najmniejsza odległość.
Pierwiastek jest funkcją rosnącą, dlatego i są najmniejsze dla tego samego . Wynik zgadza się ze wzorem na odległość punktu od prostej. Prostą można zapisać jako , a wtedy .
B. Największe pole figury - zadania z funkcją kwadratową
W zadaniach geometrycznych funkcją celu jest zwykle pole. Trzeba je wyrazić przez długość jednego odcinka, korzystając z długości ogrodzenia, drutu albo z podobieństwa trójkątów. Dziedzina wynika z tego, że wszystkie boki muszą mieć dodatnią długość.
Rolnik ma 60 m siatki. Chce ogrodzić prostokątny wybieg przylegający jednym bokiem do ściany stodoły i podzielić go przegrodą z tej samej siatki na dwie części, jak na rysunku. Wzdłuż ściany siatki nie stawia. Jakie wymiary powinien mieć wybieg, żeby jego pole było największe?
Wskazówka
Przegroda jest równoległa do boków prostopadłych do ściany. Jeśli ich długość to , siatka idzie na trzy takie odcinki i na jeden bok równoległy do ściany.
Rozwiązanie krok po kroku
Długość siatki. Przez oznaczamy bok równoległy do ściany.
Dziedzina.
Pole jako funkcja jednej zmiennej.
Ramiona w dół, a wierzchołek należy do dziedziny, więc w nim jest największa wartość.
Drugi wymiar i pole.
Siatka dzieli się po równo: 30 m na trzy odcinki prostopadłe do ściany i 30 m na bok równoległy. Tak wychodzi zawsze przy funkcji postaci , bo wierzchołek leży w połowie między miejscami zerowymi i .
Odpowiedź: Wybieg powinien mieć wymiary 10 m na 30 m, z dłuższym bokiem wzdłuż ściany. Jego pole wynosi .
W trójkąt prostokątny o przyprostokątnych 6 i 8 wpisano prostokąt tak, że dwa jego boki leżą na przyprostokątnych, a jeden wierzchołek na przeciwprostokątnej. Oblicz wymiary prostokąta o największym polu.
Wskazówka
Nad prostokątem zostaje mały trójkąt prostokątny podobny do całego. Z podobieństwa wyraź wysokość prostokąta przez jego szerokość .
Rozwiązanie krok po kroku
Mały trójkąt nad prostokątem ma przyprostokątne i . Jest podobny do trójkąta o przyprostokątnych 6 i 8.
Dziedzina. Dla z tego przedziału także .
Pole prostokąta.
Ramiona w dół, wierzchołek w dziedzinie.
Wymiary i pole.
Największy prostokąt zajmuje dokładnie połowę trójkąta, którego pole wynosi 24. Jego wierzchołek jest środkiem przeciwprostokątnej.
Odpowiedź: Prostokąt ma wymiary 3 na 4 (bok 3 leży na przyprostokątnej 6), a jego pole wynosi 12.
Z prostokątnego pasa blachy o szerokości 30 cm robi się rynnę. Oba brzegi pasa zagina się pod kątem prostym na tę samą wysokość, więc przekrój rynny jest prostokątem bez górnego boku. Na jaką wysokość trzeba zagiąć brzegi, żeby pole przekroju było największe?
Wskazówka
Jeśli boki mają wysokość , na dno zostaje centymetrów blachy.
Rozwiązanie krok po kroku
Pole przekroju i dziedzina. Dno musi mieć dodatnią szerokość.
Ramiona w dół, wierzchołek w dziedzinie.
Szerokość dna i największe pole.
Im większy przekrój, tym więcej wody rynna odprowadzi w tym samym czasie. Dno wychodzi dwa razy szersze od wysokości boków.
Odpowiedź: Brzegi trzeba zagiąć na wysokość 7,5 cm. Dno ma wtedy 15 cm szerokości, a pole przekroju wynosi .
Drut o długości 20 cm przecięto na dwie części i z każdej zgięto kwadrat. Jak trzeba przeciąć drut, żeby suma pól kwadratów była najmniejsza? Czy da się tak przeciąć drut, żeby suma pól była największa?
Wskazówka
Jeśli jedna część ma długość , bok pierwszego kwadratu to , a drugiego .
Rozwiązanie krok po kroku
Suma pól obu kwadratów.
Obie części muszą mieć dodatnią długość, inaczej powstałby tylko jeden kwadrat.
Ramiona w górę, najmniejsza wartość w wierzchołku.
Najmniejsza suma pól.
Przy końcach dziedziny wykres zbliża się do wartości 25, ale jej nie osiąga. Puste kółka oznaczają punkty, które nie należą do wykresu.
Największej sumy pól nie ma. Im bliżej końca przedziału leży , tym suma jest bliższa , ale dla i nie powstają dwa kwadraty. Gdyby treść pozwalała zgiąć jeden kwadrat z całego drutu, największa suma wynosiłaby właśnie .
Odpowiedź: Drut trzeba przeciąć na połowy po 10 cm. Najmniejsza suma pól wynosi . Największej sumy pól nie ma.
W zadaniach o cenie, zysku albo ruchu funkcję celu trzeba najpierw ułożyć z opisu słownego. Warto ustalić, co dokładnie jest zmienną (obniżka ceny, liczba drzew, czas), i sprawdzić, czy treść nie ogranicza jej zakresu. W zadaniu 11 właśnie takie ograniczenie zmienia odpowiedź.
Na seans, na który bilet kosztuje 20 zł, przychodzi średnio 200 widzów. Z obserwacji wynika, że każda obniżka ceny o 1 zł przyciąga 20 dodatkowych widzów. Jaką cenę biletu powinno ustalić kino, żeby przychód z seansu był największy? Ile wynosi ten przychód?
Wskazówka
Oznacz obniżkę przez złotych. Cena biletu to wtedy , a liczba widzów .
Rozwiązanie krok po kroku
Przychód to cena razy liczba widzów.
Obniżka nie jest ujemna, a cena musi pozostać dodatnia.
Wymnażamy nawiasy.
Ramiona w dół, wierzchołek w dziedzinie.
Cena, liczba widzów i przychód.
Liczba to obniżka, a zadanie pyta o cenę. Bez obniżki przychód wynosi zł, więc tańszy bilet daje o 500 zł więcej, choć każdy widz płaci mniej.
Odpowiedź: Bilet powinien kosztować 15 zł. Przychód wyniesie wtedy 4500 zł.
Tygodniowy zysk zakładu (w tysiącach złotych) z produkcji setek sztuk towaru opisuje funkcja . Zakład może wyprodukować co najwyżej 3000 sztuk tygodniowo. Przy jakiej produkcji zysk będzie największy? Oblicz ten zysk.
Wskazówka
3000 sztuk to 30 setek. Sprawdź, czy wierzchołek paraboli leży w przedziale .
Rozwiązanie krok po kroku
Dziedzina wynika z możliwości produkcyjnych zakładu.
Wierzchołek leży poza dziedziną.
Przy ramionach w dół funkcja rośnie na lewo od wierzchołka, więc największa wartość jest na prawym końcu przedziału.
Zysk przy pełnej produkcji.
Wierzchołek leży poza dziedziną. W przedziale funkcja cały czas rośnie.
Odpowiedź „4000 sztuk i 450 tys. zł” jest błędna, bo zakład nie jest w stanie wyprodukować tylu sztuk.
Odpowiedź: Zakład powinien produkować 3000 sztuk tygodniowo. Zysk wyniesie wtedy 400 tys. zł.
W chwili statek A wypływa z portu O na wschód z prędkością 60 km/h. W tej samej chwili statek B jest 100 km na północ od portu i płynie prosto do niego z prędkością 80 km/h. Po jakim czasie odległość między statkami będzie najmniejsza? Ile wtedy wynosi?
Wskazówka
Po godzinach statek A jest km na wschód od portu, a statek B km na północ od niego. Kursy są prostopadłe, więc skorzystaj z twierdzenia Pitagorasa.
Rozwiązanie krok po kroku
Kwadrat odległości między statkami.
Statek B dopływa do portu po h. Po tym czasie opis ruchu przestaje być prawdziwy.
Porządkujemy wyrażenie.
Ramiona w górę, minimum w wierzchołku.
Najmniejsza odległość.
0,8 h to 48 minut. Statek A jest wtedy 48 km od portu, a statek B 36 km od niego. Sprawdzenie: .
Odpowiedź: Po 48 minutach. Najmniejsza odległość między statkami wynosi 60 km.
Na jednym hektarze sadu rośnie 50 jabłoni i każda daje średnio 400 kg owoców. Sadownik wie, że każda dodatkowa jabłoń na tym hektarze zmniejsza plon każdego drzewa o 5 kg. Ile jabłoni powinien mieć na hektarze, żeby zbiór był największy?
Wskazówka
Jeśli dosadzi drzew, na hektarze będzie jabłoni, a każda da kg owoców.
Rozwiązanie krok po kroku
Zbiór z hektara to liczba drzew razy plon jednego drzewa.
Liczba dosadzonych drzew jest całkowita i nieujemna, a plon drzewa musi być dodatni.
Ramiona w dół, maksimum w wierzchołku.
Liczba drzew, plon jednego drzewa i zbiór.
Wierzchołek wypadł w liczbie całkowitej. Gdyby wyszło na przykład 15,5, trzeba by porównać zbiory dla 15 i 16 dosadzonych drzew, bo pół jabłoni posadzić się nie da.
Odpowiedź: 65 jabłoni na hektarze. Zbiór wyniesie wtedy 21 125 kg z hektara.
Na poziomie rozszerzonym funkcja celu nie musi być kwadratowa. Ekstremum szuka się wtedy pochodną: wyznacza się punkty, w których , i sprawdza znak pochodnej po obu ich stronach. Jeśli dziedziną jest przedział domknięty, trzeba jeszcze porównać wartości na końcach.
Wyznacz największą i najmniejszą wartość funkcji w przedziale .
Wskazówka
Funkcja ciągła na przedziale domkniętym przyjmuje wartości skrajne w punktach, w których pochodna się zeruje, albo na końcach przedziału. Policz wszystkie te wartości i porównaj.
Rozwiązanie krok po kroku
Pochodna i jej rozkład na czynniki.
Oba punkty należą do przedziału .
Wartości w punktach, w których pochodna się zeruje.
Wartości na końcach przedziału.
Porównujemy cztery liczby.
Najwyżej na wyróżnionej części leży punkt , a najniżej .
Tabela znaków pochodnej nie jest tu potrzebna. Na przedziale domkniętym wystarczy porównać wartości w punktach krytycznych i na końcach.
Odpowiedź: Największa wartość to 10 (dla ), najmniejsza to (dla ).
Liczby dodatnie i spełniają warunek . Dla jakich i wyrażenie przyjmuje największą wartość? Oblicz tę wartość.
Wskazówka
Wstaw . Otrzymasz wielomian trzeciego stopnia zmiennej , więc wierzchołek paraboli nie pomoże. Potrzebna jest pochodna.
Rozwiązanie krok po kroku
Funkcja celu. Obie liczby są dodatnie, więc .
Pochodna.
Punkt nie należy do dziedziny.
Funkcja najpierw rośnie, potem maleje, więc w ma maksimum.
Druga liczba i największa wartość.
Na przedziale otwartym samo nie wystarcza. Zmiana znaku pochodnej z plusa na minus pokazuje, że to maksimum. Innych punktów krytycznych w dziedzinie nie ma, więc jest to zarazem największa wartość funkcji.
Odpowiedź: , , największa wartość wyrażenia wynosi 256.
E. Zadania optymalizacyjne z geometrii i stereometrii
To typowe zadania z matury rozszerzonej. Najwięcej pracy wymaga zwykle ułożenie funkcji celu: pole albo objętość trzeba wyrazić przez jedną zmienną za pomocą warunku z treści, twierdzenia Pitagorasa lub wzorów na bryły. Sama pochodna jest potem prosta. W zadaniach 21 i 23 pokazujemy dwa sposoby na pierwiastek w funkcji celu.
Z kwadratowego arkusza kartonu o boku 30 cm wycina się w rogach cztery jednakowe kwadraty, a powstałe boki zagina do góry. Powstaje otwarte pudełko w kształcie prostopadłościanu. Jaki bok powinny mieć wycięte kwadraty, żeby objętość pudełka była największa?
Wskazówka
Bok wyciętego kwadratu to wysokość pudełka. Dno jest kwadratem o boku .
Rozwiązanie krok po kroku
Objętość to pole dna razy wysokość. Dno musi mieć dodatni bok.
Wymnażamy, żeby łatwo policzyć pochodną.
Pochodna i jej rozkład.
Punkt nie należy do dziedziny.
Objętość rośnie, a potem maleje, więc w jest największa.
Największa objętość.
W przedziale jedynym ekstremum jest maksimum .
Odpowiedź: Wycięte kwadraty powinny mieć bok 5 cm. Pudełko ma wtedy wymiary 20 cm × 20 cm × 5 cm i objętość .
Puszka w kształcie walca ma mieć objętość . Jaki promień podstawy i jaką wysokość powinna mieć, żeby jej pole powierzchni całkowitej, a więc zużycie blachy, było najmniejsze?
Wskazówka
Z objętości wyznacz przez i wstaw do wzoru na pole powierzchni całkowitej walca.
Rozwiązanie krok po kroku
Wysokość z objętości.
Pole powierzchni całkowitej: dwie podstawy i powierzchnia boczna.
Pochodna sprowadzona do wspólnego mianownika.
Jedyny punkt krytyczny.
Mianownik jest dodatni, więc znak zależy tylko od . W jest minimum.
Wysokość i najmniejsze pole.
Wysokość jest równa średnicy podstawy, a przekrój osiowy puszki jest kwadratem. Ten sam wynik wychodzi przy każdej objętości : z dostajemy , a stąd .
Odpowiedź: , . Najmniejsze pole powierzchni wynosi .
Pole powierzchni całkowitej graniastosłupa prawidłowego czworokątnego jest równe . Jaką długość powinna mieć krawędź podstawy, żeby objętość graniastosłupa była największa? Oblicz tę objętość.
Wskazówka
Podstawą jest kwadrat o boku . Z pola powierzchni wyznacz wysokość , a potem zapisz objętość jako funkcję .
Rozwiązanie krok po kroku
Dwie podstawy i cztery ściany boczne.
Dziedzina. Wysokość musi być dodatnia.
Objętość jako funkcja krawędzi podstawy.
Pochodna.
Maksimum w .
Wysokość i objętość.
Wyszedł sześcian o krawędzi 5 cm. Spośród graniastosłupów prawidłowych czworokątnych o tym samym polu powierzchni największą objętość ma sześcian.
Odpowiedź: Krawędź podstawy powinna mieć 5 cm (graniastosłup jest wtedy sześcianem). Największa objętość wynosi .
Tworząca stożka ma długość . Jaką wysokość powinien mieć stożek, żeby jego objętość była największa? Oblicz tę objętość.
Wskazówka
Wysokość, promień podstawy i tworząca tworzą trójkąt prostokątny. Wyraź przez . Jeśli zmienną będzie , w funkcji celu nie pojawi się pierwiastek.
Rozwiązanie krok po kroku
Twierdzenie Pitagorasa w przekroju osiowym stożka.
Objętość jako funkcja wysokości.
Pochodna.
Maksimum w .
Promień podstawy i największa objętość.
Gdyby zmienną był promień, objętość zawierałaby pierwiastek: . Wynik byłby ten sam, ale pochodna trudniejsza. Warto więc tak dobrać zmienną, żeby ominąć pierwiastek.
Odpowiedź: Wysokość stożka powinna wynosić 3 (promień podstawy ). Największa objętość to .
W półkole o promieniu 1 wpisano trapez równoramienny tak, że dłuższa podstawa trapezu jest średnicą półkola, a końce krótszej podstawy leżą na łuku. Oblicz długość krótszej podstawy trapezu o największym polu oraz to pole.
Wskazówka
Oznacz przez połowę krótszej podstawy. Jej koniec leży na okręgu o promieniu 1 i środku w środku średnicy, więc wysokość trapezu to .
Rozwiązanie krok po kroku
Twierdzenie Pitagorasa w trójkącie o przeciwprostokątnej równej promieniowi. Dla byłby trójkąt, a dla trapez by zniknął.
Pole trapezu. Podstawy mają długości 2 i .
Pochodna iloczynu i pochodna funkcji złożonej . Sprowadzamy do wspólnego mianownika.
Punkt nie należy do dziedziny.
Mianownik jest dodatni, więc znak zależy od licznika. Maksimum w .
Krótsza podstawa, wysokość i pole.
Krótsza podstawa i oba ramiona mają wtedy długość 1, tyle samo co promień. Trapez jest połową sześciokąta foremnego wpisanego w okrąg.
Odpowiedź: Krótsza podstawa ma długość 1, a największe pole wynosi .
Tu funkcją celu jest koszt albo czas. Zwykle składa się z dwóch części, z których jedna rośnie, a druga maleje, gdy zmienia się zmienna. Pochodna wskazuje punkt, w którym suma obu części jest najmniejsza.
Statek płynie ze stałą prędkością km/h po trasie długości 100 km. Godzina rejsu kosztuje zł za paliwo oraz 160 zł kosztów stałych (załoga, opłaty). Z jaką prędkością powinien płynąć statek, żeby koszt całego rejsu był najmniejszy? Ile wynosi ten koszt?
Wskazówka
Rejs trwa godzin. Koszt całego rejsu to czas rejsu razy koszt jednej godziny.
Rozwiązanie krok po kroku
Koszt całego rejsu jako funkcja prędkości.
Pochodna.
Jedyny punkt krytyczny.
Minimum w .
Najmniejszy koszt.
Przy małej prędkości rejs trwa długo i rosną koszty stałe. Przy dużej rośnie koszt paliwa.
Przy prędkości 20 km/h rejs trwa 5 godzin. Paliwo kosztuje wtedy 400 zł, a koszty stałe 800 zł.
Odpowiedź: Statek powinien płynąć z prędkością 20 km/h. Rejs kosztuje wtedy 1200 zł.
Dom A stoi 3 km od prostej szosy. Punkt D to rzut punktu A na szosę, a sklep B leży przy szosie 10 km od D. Przez pole można iść z prędkością 3 km/h, a szosą 5 km/h. W którym punkcie C odcinka DB trzeba wejść na szosę, żeby dojść z domu do sklepu w najkrótszym czasie? Ile trwa taka droga?
Wskazówka
Oznacz . Przez pole idzie się odcinkiem o długości , a szosą odcinkiem o długości . Czas to droga podzielona przez prędkość.
Rozwiązanie krok po kroku
Czas marszu przez pole i szosą.
Pochodna pierwiastka i funkcji złożonej.
Podnosimy do kwadratu. Obie strony są nieujemne, bo .
Wyrażenie rośnie razem z , więc pochodna zmienia znak z minusa na plus. To minimum.
Długości obu odcinków drogi.
Najkrótszy czas w godzinach.
2,8 h to 2 godziny i 48 minut. Dla porównania: marsz prosto do sklepu przez pole trwa h, a dojście najkrótszą drogą do szosy i dalej szosą h. To są wartości na końcach przedziału i obie są większe od 2,8 h.
Odpowiedź: Na szosę trzeba wejść w odległości 2,25 km od punktu D, czyli 7,75 km przed sklepem. Droga trwa wtedy 2,8 h, czyli 2 h 48 min.
Dopiero dziedzina pokazuje, czy znaleziony punkt w ogóle ma sens. Pochodna albo wierzchołek może wskazać wartość, dla której figura nie istnieje, bok jest ujemny albo cena spada poniżej zera.
W zadaniu 17 pochodna zeruje się w x = 5 i x = 15, ale pudełko da się zrobić tylko dla x < 15.
Wierzchołek poza dziedziną
Wierzchołek paraboli daje wartość największą lub najmniejszą tylko wtedy, gdy należy do dziedziny. W przeciwnym razie funkcja jest w dziedzinie monotoniczna i ekstremum leży na końcu przedziału albo nie istnieje.
W zadaniu 11 wierzchołek to x = 40, a zakład może produkować najwyżej 30 setek sztuk. Największy zysk jest dla x = 30.
Odpowiedź na inne pytanie
Wierzchołek albo punkt z to tylko wartość zmiennej. Zadanie pyta zwykle o wymiary, cenę, pole lub czas, więc przed zapisaniem odpowiedzi warto jeszcze raz przeczytać polecenie.
W zadaniu 10 wychodzi p = 5, ale to obniżka. Cena biletu to 20 − 5 = 15 zł.
Pochodna równa zeru bez sprawdzenia znaku
Warunek jest konieczny, ale nie wystarcza. W takim punkcie może być maksimum, minimum albo żadne z nich. Rozstrzyga zmiana znaku pochodnej.
W zadaniu 16 pochodna zeruje się w x = 0, ale tam odległość ma maksimum lokalne, a nie minimum.
Funkcja celu z dwiema zmiennymi
Wzór jest dobrym początkiem, ale szukać ekstremum można dopiero po wyrażeniu przez . Warunek, który na to pozwala, podaje treść zadania.
W zadaniu 5 z długości siatki 3x + y = 60 wynika y = 60 − 3x, więc P(x) = x(60 − 3x).
Pominięte końce przedziału domkniętego
Na przedziale domkniętym wartość największa lub najmniejsza może leżeć na jego końcu, nawet jeśli wewnątrz jest ekstremum lokalne. Wartości na końcach trzeba policzyć i porównać.
f(x) = x³ − 3x na [0, 3] ma minimum lokalne w x = 1, ale największą wartość f(3) = 18 przyjmuje na końcu przedziału.
Porady do zadań optymalizacyjnych
Zacznij od rysunku. Nawet prosty szkic z zaznaczonym pokazuje, które odcinki zależą od zmiennej i jaki warunek je łączy. W zadaniach z figurami wpisanymi często widać na nim od razu trójkąty podobne albo trójkąt prostokątny do twierdzenia Pitagorasa.
Omijaj pierwiastki. Czasem wystarczy wybrać inną zmienną, jak w zadaniu 21. Jeśli się nie da, badaj kwadrat funkcji celu (zadania 4, 16 i 23). Dla wielkości dodatnich, takich jak odległość czy pole, i mają ekstremum w tym samym punkcie.
Wierzchołek bez wzoru. Funkcja celu często ma od razu postać iloczynową, na przykład . Wtedy to średnia miejsc zerowych: . Wzór na współrzędne wierzchołka jest też w tablicach maturalnych CKE.
Sprawdź wynik liczbą obok. Policz funkcję celu dla wartości trochę mniejszej i trochę większej od znalezionej. W zadaniu 5 dla pole wynosi , a dla jest to . Oba wyniki są mniejsze od 300, więc maksimum się zgadza.
Pytania o zadania optymalizacyjne
Co to są zadania optymalizacyjne?
To zadania, w których trzeba znaleźć największą albo najmniejszą wartość jakiejś wielkości: pola, objętości, zysku, kosztu, czasu lub odległości. Tę wielkość zapisuje się jako funkcję jednej zmiennej, wyznacza dziedzinę i szuka ekstremum. Na poziomie podstawowym funkcja jest kwadratowa, a na rozszerzonym używa się pochodnej.
Jak rozwiązać zadanie optymalizacyjne?
Oznacz jedną wielkość przez . Zapisz wielkość, którą trzeba zoptymalizować, jako funkcję , a drugą zmienną wyznacz z warunku z treści. Ustal dziedzinę. Znajdź ekstremum: dla funkcji kwadratowej w wierzchołku , dla innych funkcji tam, gdzie pochodna zmienia znak. Na koniec odpowiedz na pytanie z treści, bo zwykle chodzi o wymiary, cenę albo pole. Cały schemat jest opisany na początku strony.
Jakie są zadania optymalizacyjne z funkcji kwadratowej?
To zadania, w których funkcja celu jest trójmianem kwadratowym. Typowe przykłady to ogrodzenie prostokątnego terenu o największym polu, iloczyn dwóch liczb o stałej sumie, prostokąt wpisany w trójkąt oraz cena, przy której przychód jest największy. Ekstremum leży w wierzchołku paraboli, o ile należy do dziedziny. W przeciwnym razie trzeba sprawdzić końce przedziału. Takie zadania są w działach A, B i C.
Czy na maturze podstawowej trzeba znać pochodne?
Nie. Pochodna jest w wymaganiach tylko na poziomie rozszerzonym. Zadania optymalizacyjne z matury podstawowej rozwiązuje się własnościami funkcji kwadratowej, głównie wzorem na współrzędne wierzchołka paraboli. Filtr „Podstawowe” u góry strony pokazuje tylko takie zadania.
Jakie są zadania optymalizacyjne na maturze rozszerzonej?
Funkcja celu bywa wielomianem trzeciego stopnia, funkcją wymierną albo zawiera pierwiastek, więc ekstremum wyznacza się pochodną. Najczęściej dotyczą brył (stożek, walec, graniastosłup), figur wpisanych w okrąg lub pod wykres funkcji oraz kosztu i czasu. Trzeba też uzasadnić, że w znalezionym punkcie funkcja przyjmuje wartość największą lub najmniejszą, na przykład badając znak pochodnej. Przykłady są w działach D, E i F.
Co zrobić, gdy wierzchołek paraboli leży poza dziedziną?
Wtedy funkcja jest monotoniczna w całej dziedzinie, więc wartość największą lub najmniejszą przyjmuje na jednym z końców przedziału. Jeśli ten koniec nie należy do dziedziny, bo przedział jest otwarty, szukana wartość w ogóle nie istnieje. Pierwszy przypadek pokazuje zadanie 11, a drugi zadanie 8.