Całkowanie przez podstawienie
gdzie u = g(x) to nowa zmienna (podstawienie), du = g'(x) dx, a f to funkcja, której całkę potrafimy obliczyć
Czym jest całkowanie przez podstawienie?
Całkowanie przez podstawienie (substytucja) to jedna z najważniejszych i najczęściej stosowanych metod rachunku całkowego. Polega na zamianie zmiennej całkowania - wprowadzeniu nowej zmiennej u = g(x), która upraszcza wyrażenie podcałkowe. Jest to odpowiednik reguły łańcuchowej (reguły funkcji złożonej) w rachunku różniczkowym, ale stosowany "w drugą stronę".
Idea metody jest naturalna: jeśli widzimy w wyrażeniu podcałkowym funkcję złożoną f(g(x)) pomnożoną przez pochodną funkcji wewnętrznej g'(x), to po podstawieniu u = g(x) cała struktura się upraszcza. Pochodna g'(x) "pochłania się" z dx, tworząc du, a złożenie f(g(x)) zamienia się w prostą funkcję f(u).
Wyprowadzenie wzoru opiera się na regule łańcuchowej. Jeśli F jest funkcją pierwotną f, to F'(u) = f(u). Dla u = g(x) mamy:
Zatem F(g(x)) jest funkcją pierwotną wyrażenia f(g(x))·g'(x). Po podstawieniu u = g(x) otrzymujemy ∫f(u) du = F(u) + C = F(g(x)) + C, co potwierdza poprawność metody.
Elementy wzoru
Nowa zmienna - podstawienie. Wybieramy ją tak, aby uprościć wyrażenie podcałkowe. Najczęściej jest to funkcja wewnętrzna złożenia, np. u = x²+1, u = sin x, u = ln x.
Różniczka nowej zmiennej. Obliczamy ją, różniczkując podstawienie u = g(x). Wyrażenie g'(x) dx musi pojawić się (lub dać się wyodrębnić) w całce wyjściowej.
Funkcja złożona w wyrażeniu podcałkowym. Po podstawieniu u = g(x) zamienia się w prostą funkcję f(u), którą potrafimy scałkować.
Pochodna funkcji wewnętrznej. Jej obecność w wyrażeniu podcałkowym jest sygnałem, że metoda podstawienia będzie skuteczna. Stanowi "łącznik" między dx a du.
Interpretacja wzoru
Odwrócenie reguły łańcuchowej: Reguła łańcuchowa mówi, że [F(g(x))]' = F'(g(x))·g'(x) = f(g(x))·g'(x). Całkowanie przez podstawienie to odwrócenie tego procesu: rozpoznajemy strukturę f(g(x))·g'(x) i "cofamy" różniczkowanie, otrzymując F(g(x)) + C. To dlatego metoda działa - jest naturalnym uzupełnieniem reguły łańcuchowej.
Jak dobierać podstawienie: Szukaj wyrażenia, które po zróżniczkowaniu daje (lub jest proporcjonalne do) innego czynnika w całce. Typowe strategie: (1) jeśli widzisz złożenie, podstaw za funkcję wewnętrzną; (2) jeśli mianownik jest skomplikowany, spróbuj u = mianownik; (3) jeśli pod pierwiastkiem jest wyrażenie, podstaw u = to wyrażenie; (4) dla funkcji trygonometrycznych spróbuj u = argument.
Trzy kroki metody: Stosowanie podstawienia przebiega w trzech krokach. Po pierwsze, wybierz u = g(x) i oblicz du = g'(x) dx. Po drugie, zamień wszystkie x i dx na u i du w całce (nie mogą pozostać żadne x). Po trzecie, oblicz uproszczoną całkę ∫f(u) du i wróć do zmiennej x, podstawiając z powrotem u = g(x).
Wizualizacja
Poniższy wykres ilustruje podstawienie na przykładzie ∫2x·cos(x²) dx z u = x². Funkcja podcałkowa 2x·cos(x²) (linia przerywana) ma złożoną postać, ale po podstawieniu sprowadza się do ∫cos(u) du = sin(u) + C = sin(x²) + C (linia ciągła).
Funkcja podcalkowa (przerywana)
Funkcja pierwotna (C = 0)
Podstawienie
Pochodna funkcji wewnetrznej
Kiedy stosować wzór?
- Funkcja złożona z pochodną wewnętrzną - gdy wyrażenie ma postać f(g(x))·g'(x), np. ∫cos(3x)·3 dx, ∫2x·ex² dx
- Wyrażenia z funkcją liniową w argumencie - np. ∫sin(2x+1) dx, ∫e5x dx. Podstawienie u = ax+b to najprostszy przypadek substytucji
- Ułamki z pochodną mianownika w liczniku - np. ∫(2x)/(x²+1) dx. Podstawienie u = mianownik daje ∫du/u = ln|u| + C
- Wyrażenia z pierwiastkami - np. ∫x·√(x²+4) dx. Podstawienie u = wyrażenie pod pierwiastkiem upraszcza całkę
- Podstawienia trygonometryczne - dla wyrażeń z √(a²-x²), √(a²+x²) lub √(x²-a²) stosujemy x = a sin t, x = a tg t lub x = a/cos t
Przykłady obliczeniowe
Przykład 1: Funkcja liniowa w argumencie
Zadanie: Oblicz całkę ∫cos(3x + 1) dx.
Rozwiązanie:
Podstawiamy u = 3x + 1, wtedy du = 3 dx, czyli dx = du/3:
Sprawdzenie: [(1/3) sin(3x+1)]' = (1/3)·cos(3x+1)·3 = cos(3x+1). Wynik jest poprawny.
Odpowiedź: ∫cos(3x + 1) dx = (1/3) sin(3x + 1) + C
Przykład 2: Pochodna mianownika w liczniku
Zadanie: Oblicz całkę ∫2x/(x² + 1) dx.
Rozwiązanie:
Zauważamy, że 2x jest pochodną mianownika x²+1. Podstawiamy u = x² + 1:
Uwaga: opuszczamy wartość bezwzględną, bo x²+1 > 0 zawsze. Sprawdzenie: [ln(x²+1)]' = 2x/(x²+1). Poprawnie.
Odpowiedź: ∫2x/(x² + 1) dx = ln(x² + 1) + C
Przykład 3: Funkcja wykładnicza z funkcją złożoną
Zadanie: Oblicz całkę ∫x·ex² dx.
Rozwiązanie:
Podstawiamy u = x², wtedy du = 2x dx, czyli x dx = du/2:
Sprawdzenie: [(1/2)ex²]' = (1/2)·ex²·2x = x·ex². Wynik jest poprawny.
Odpowiedź: ∫x·ex² dx = (1/2)ex² + C
Przykład 4: Całka oznaczona z podstawieniem
Zadanie: Oblicz ∫01 x²·(x³ + 1)4 dx.
Rozwiązanie:
Podstawiamy u = x³ + 1, du = 3x² dx. Zmieniamy granice: x = 0 → u = 1, x = 1 → u = 2:
Przy całce oznaczonej zmieniamy granice na nową zmienną u, dzięki czemu nie trzeba wracać do zmiennej x.
Odpowiedź: ∫01 x²·(x³ + 1)4 dx = 31/15
Częste błędy
Zapominanie o zamianie dx na du
Po podstawieniu u = g(x) trzeba obliczyć du = g'(x) dx i wyrazić dx przez du. Częstym błędem jest zamiana tylko wyrażeń z x, ale pozostawienie dx bez zmian. Po podstawieniu nie może pozostać żadne dx ani żadne wyrażenie zawierające x.
Błędnie: ∫cos(x²) dx z u = x², ale zostawienie dx zamiast du/(2x). Poprawnie: du = 2x dx, więc dx = du/(2x).
Brak zmiany granic w całce oznaczonej
Przy całce oznaczonej po podstawieniu u = g(x) trzeba przeliczyć granice całkowania. Jeśli całkujemy od a do b po x, to po podstawieniu granice to g(a) i g(b). Alternatywnie można wrócić do zmiennej x przed podstawieniem granic.
W ∫01 2x·ex² dx z u = x²: granice zmieniają się na u(0) = 0 i u(1) = 1, więc ∫01 eu du.
Zły dobór podstawienia
Podstawienie powinno uprościć całkę. Jeśli po zamianie zmiennej wyrażenie jest bardziej skomplikowane lub nie da się pozbyć x, to wybrane podstawienie jest nieodpowiednie. Trzeba spróbować innego.
W ∫x√(x+1) dx: podstawienie u = x nie upraszcza niczego. Lepsze: u = x+1, wtedy x = u-1 i ∫(u-1)√u du.
Zapominanie o powrocie do zmiennej x
W całce nieoznaczonej po obliczeniu ∫f(u) du trzeba wrócić do zmiennej x, zastępując u przez g(x). Wynik końcowy musi być wyrażony w zmiennej wyjściowej.
Poprawnie: ∫2x·ex² dx = eu + C = ex² + C (wracamy do x). Błędnie: zostawienie wyniku jako eu + C.
Porady i wskazówki
Szukaj pochodnej wewnętrznej: Jeśli widzisz złożenie f(g(x)), sprawdź, czy czynnik obok niego jest (lub jest proporcjonalny do) g'(x). Jeśli tak, podstaw u = g(x). To najczęstsza sytuacja w zadaniach.
Wzór skrócony dla ax + b: Jeśli argument jest funkcją liniową ax + b, wynik to (1/a)·F(ax+b) + C, gdzie F jest funkcją pierwotną f. Na przykład: ∫sin(5x) dx = -(1/5)cos(5x) + C. Nie trzeba formalnie podstawiać.
Brakujący współczynnik: Jeśli pochodna g'(x) pojawia się z innym współczynnikiem, kompensuj to stałą. Na przykład w ∫x·ex² dx mamy g'(x) = 2x, a w całce jest tylko x. Piszemy: x dx = du/2, więc wynik to (1/2)∫eu du.
Sprawdzaj różniczkowaniem: Po obliczeniu całki zróżniczkuj wynik. Jeśli pochodna wyniku (z regułą łańcuchową) daje wyrażenie podcałkowe, odpowiedź jest poprawna. To najskuteczniejszy sposób weryfikacji.
Przypadki szczególne
Podstawienie liniowe: u = ax + b
Najprostszy przypadek. Jeśli argument funkcji jest wyrażeniem liniowym ax + b, to du = a dx, więc dx = du/a. Wynik to (1/a) razy odpowiednia funkcja pierwotna.
Przykłady: ∫e5x dx = (1/5)e5x + C, ∫sin(2x-3) dx = -(1/2)cos(2x-3) + C.
Wzór ∫g'(x)/g(x) dx = ln|g(x)| + C
Gdy licznik jest pochodną mianownika, całka sprowadza się do logarytmu naturalnego. Jest to szczególny przypadek podstawienia u = g(x) z f(u) = 1/u.
Przykłady: ∫tg x dx = ∫sin x/cos x dx = -ln|cos x| + C, ∫(2x+1)/(x²+x) dx = ln|x²+x| + C.
Podstawienie odwrotne (x = h(t))
Czasem wygodniej jest wyrazić x przez nową zmienną (zamiast odwrotnie). Stosujemy np. x = a sin t dla √(a²-x²), x = a tg t dla √(a²+x²). Wtedy dx = h'(t) dt.
To prowadzi do wzoru: ∫√(a²-x²) dx = (x/2)√(a²-x²) + (a²/2) arcsin(x/a) + C.
Całka oznaczona z podstawieniem
Przy całce oznaczonej po podstawieniu u = g(x) zamieniamy granice: dolna granica a → g(a), górna granica b → g(b). Nie trzeba wracać do zmiennej x.
Przykład: ∫0π/2 sin x · cos x dx z u = sin x: ∫01 u du = u²/2 |01 = 1/2.