Funkcja kwadratowa - zadania z rozwiązaniami krok po kroku
26 zadań z funkcji kwadratowej: od wierzchołka paraboli i równań kwadratowych po wzory Viète'a i zadania z parametrem. Większość to typowe zadania maturalne z poziomu podstawowego. Najpierw spróbuj sam, a jeśli utkniesz, otwórz wskazówkę. Rozwiązanie pokazuje każde przekształcenie i wzór, z którego korzysta. Zadania z poziomu rozszerzonego mają przy tytule znak R.
Rozwiązania krok po kroku: https://tablicematematyczne.pl/zadania/funkcja-kwadratowa
Widoczne zadania: 26 z 26
Co trzeba umieć przed rozwiązywaniem zadań
Funkcja kwadratowa to funkcja postaci , gdzie . Jej wykresem jest parabola: ramiona idą w górę, gdy , i w dół, gdy . Tę samą funkcję da się zapisać na trzy sposoby. W większości zadań chodzi o to, żeby wybrać postać, z której od razu widać to, o co pyta treść. Poniżej jest sześć wzorów, na których opiera się ten zbiór. Kliknij wzór, jeśli chcesz zobaczyć wyprowadzenie i dodatkowe przykłady.
A. Postacie funkcji kwadratowej i wierzchołek paraboli
Z wierzchołka odczytasz oś symetrii, zbiór wartości i przedziały monotoniczności. Zadania z tej części sprowadzają się do obliczenia wierzchołka albo do przejścia z jednej postaci funkcji do innej.
Miejsca zerowe funkcji kwadratowej to rozwiązania równania . Delta działa zawsze, ale nie zawsze jest najszybsza. Gdy brakuje wyrazu albo , wystarczy wyłączyć wspólny czynnik lub skorzystać ze wzoru na różnicę kwadratów.
O wyborze postaci decyduje to, co podano w zadaniu. Gdy znasz wierzchołek, zacznij od postaci kanonicznej. Gdy znasz miejsca zerowe, zacznij od iloczynowej. W obu przypadkach zostaje jedna niewiadoma , którą wyznaczysz z jeszcze jednego punktu. Z postaci ogólnej korzysta się wtedy, gdy dane są trzy zwykłe punkty.
Na rysunku przedstawiono wykres funkcji kwadratowej . Wierzchołek paraboli i punkty przecięcia z osią mają całkowite współrzędne. Wyznacz wzór funkcji w postaci ogólnej i oblicz .
Wskazówka
Z wykresu odczytaj wierzchołek i jedno miejsce zerowe. Postać kanoniczna plus jeden punkt wystarczą, żeby policzyć .
Rozwiązanie krok po kroku
Odczytujemy dane z wykresu.
Postać kanoniczna.
Podstawiamy miejsce zerowe . Ujemne zgadza się z ramionami skierowanymi w dół.
Postać ogólna.
Wartość w punkcie 2.
Ten sam wzór wychodzi z postaci iloczynowej: i , więc .
Na przedziale domkniętym funkcja kwadratowa przyjmuje wartość największą i najmniejszą albo na końcach przedziału, albo w wierzchołku. Wystarczy więc sprawdzić, czy należy do przedziału, i porównać najwyżej trzy liczby. Więcej zadań tekstowych tego typu, także z pochodną, znajdziesz w zbiorze zadania optymalizacyjne.
Pan Tomasz chce ogrodzić prostokątny ogródek przylegający jednym bokiem do ściany budynku. Ma 40 m siatki, a wzdłuż ściany ogrodzenia nie stawia. Jakie wymiary powinien mieć ogródek, żeby jego pole było jak największe? Oblicz to pole.
Wskazówka
Oznacz przez długość boku prostopadłego do ściany. Takie boki są dwa, więc na bok równoległy do ściany zostaje .
Rozwiązanie krok po kroku
Pole jako funkcja jednej zmiennej.
Dziedzina: oba boki muszą być dodatnie.
Parabola ma ramiona w dół, więc największa wartość jest w wierzchołku. Leży on w dziedzinie.
Drugi bok i pole.
Wierzchołek łatwo znaleźć też bez wzoru: miejsca zerowe to i , a leży dokładnie w połowie między nimi.
Odpowiedź: Boki prostopadłe do ściany po 10 m, bok równoległy 20 m. Największe pole to .
Wzory Viète'a i pozwalają obliczyć wyrażenia z pierwiastkami bez wyznaczania samych pierwiastków. Działają tylko wtedy, gdy pierwiastki istnieją, dlatego każde zadanie zaczyna się od warunku na deltę. W zadaniu 23 właśnie ten warunek odrzuca jedno z rozwiązań.
Wyznacz wszystkie wartości parametru , dla których równanie ma dwa różne pierwiastki dodatnie.
Wskazówka
Potrzebne są trzy warunki: , iloczyn pierwiastków dodatni i suma pierwiastków dodatnia. Dwie liczby są dodatnie wtedy i tylko wtedy, gdy ich iloczyn i suma są dodatnie.
Rozwiązanie krok po kroku
Warunek na dwa różne pierwiastki. Dzielimy przez 4.
Miejsca zerowe i , ramiona w górę, więc bierzemy przedziały na zewnątrz.
Iloczyn pierwiastków dodatni.
Suma pierwiastków dodatnia.
Część wspólna trzech warunków.
Sprawdzenie dla : ma pierwiastki . Obie liczby są dodatnie, bo .
W zadaniach tekstowych wzór funkcji zwykle jest podany albo łatwo go ułożyć. Trudniej jest zamienić pytanie na obliczenie: „najwyżej” oznacza wierzchołek, a „kiedy osiągnie wysokość” prowadzi do równania kwadratowego.
Piłkę wyrzucono pionowo w górę. Jej wysokość w metrach po sekundach opisuje wzór . Oblicz, na jaką największą wysokość wzniesie się piłka i po jakim czasie. Po ilu sekundach piłka będzie na wysokości 16,5 m?
Wskazówka
Największa wysokość to druga współrzędna wierzchołka. W drugiej części rozwiąż równanie . Wyjdą dwa czasy i oba mają sens.
Rozwiązanie krok po kroku
Czas, w którym piłka jest najwyżej.
Największa wysokość.
Druga część: przyrównujemy wysokość do 16,5.
Dzielimy przez , żeby uprościć liczby.
Oba czasy są dodatnie.
Piłka mija wysokość 16,5 m dwa razy: w górę po 1 sekundzie i w dół po 3 sekundach. Oba momenty leżą symetrycznie względem , tak jak punkty paraboli względem jej osi symetrii.
Odpowiedź: Największa wysokość to 21,5 m po 2 s. Wysokość 16,5 m piłka osiąga po 1 s i po 3 s.
Najczęstsze błędy w zadaniach z funkcji kwadratowej
Zły znak przy -b we wzorze na p
Gdy jest ujemne, jest dodatnie. Zgubienie tego minusa przesuwa wierzchołek na drugą stronę osi , a razem z nim oś symetrii i przedziały monotoniczności.
Dla f(x) = 2x² − 8x + 3: p = 8/4 = 2, a nie −2.
Dzielenie równania przez x
Przy równaniu bez wyrazu wolnego kusi, żeby podzielić obie strony przez . Wtedy ginie rozwiązanie . Bezpieczniej jest wyłączyć przed nawias.
3x² = 12x daje x = 0 lub x = 4, a nie tylko x = 4.
Błędy w -4ac przy ujemnym c
W delcie odejmujemy iloczyn . Jeśli i mają różne znaki, iloczyn jest ujemny, więc delta rośnie. Wiele błędnych wyników bierze się z odjęcia zamiast dodania.
Na przedziale domkniętym wierzchołek liczy się tylko wtedy, gdy do tego przedziału należy. Drugiej wartości skrajnej zawsze szuka się na końcach przedziału.
W zadaniu 18 wierzchołek (3, 4) leży poza [−1, 2], więc 4 nie jest największą wartością.
Wzory Viète'a bez sprawdzenia delty
Wzory Viète'a dają sumę i iloczyn nawet wtedy, gdy pierwiastków nie ma, a wynik jest wtedy bez sensu. W zadaniach z parametrem warunek na deltę często odrzuca część rozwiązań.
W zadaniu 23 wartość m = 4 spełnia warunek z treści, ale daje Δ = 0.
Porady do zadań z funkcji kwadratowej
Rób szkic paraboli. Kierunek ramion, wierzchołek i miejsca zerowe zaznaczone choćby odręcznie wystarczą, żeby zobaczyć zbiór wartości, monotoniczność i wartości skrajne w przedziale.
Wartość q licz przez podstawienie. Obliczenie jest zwykle prostsze niż i daje mniej okazji do pomyłki w znakach.
Sprawdź wynik środkiem między pierwiastkami. Pierwsza współrzędna wierzchołka to średnia miejsc zerowych: . Jeśli policzone nie leży w połowie drogi, gdzieś jest błąd.
Korzystaj z tablic. Wzory na deltę, pierwiastki, wierzchołek, postać kanoniczną i iloczynową oraz wzory Viète'a są w tablicach maturalnych CKE. Na maturze masz je pod ręką, więc ćwicz przede wszystkim rozpoznawanie, którego wzoru użyć.
Pytania o funkcję kwadratową
Jak obliczyć wierzchołek paraboli?
Dla funkcji pierwsza współrzędna wierzchołka to . Drugą najłatwiej policzyć, wstawiając do wzoru funkcji: . Można też użyć wzoru . Pełny przykład jest w zadaniu 1, a więcej na stronie o współrzędnych wierzchołka.
Jak obliczyć deltę?
Deltę liczy się ze wzoru , gdzie , i to współczynniki funkcji w postaci ogólnej. Najpierw uporządkuj równanie tak, żeby po prawej stronie było zero, a dopiero potem odczytaj współczynniki razem ze znakami. Dla wychodzi (zadanie 6). Szczegóły są na stronie wzór na deltę.
Jak obliczyć miejsca zerowe funkcji kwadratowej?
Rozwiąż równanie . Jeśli , funkcja ma dwa miejsca zerowe . Jeśli , ma jedno: . Jeśli , nie ma miejsc zerowych. Gdy brakuje wyrazu albo , szybciej jest wyłączyć przed nawias lub skorzystać ze wzoru na różnicę kwadratów (zadanie 7).
Jak wyznaczyć wzór funkcji kwadratowej?
Wybierz postać, która pasuje do danych. Gdy znasz wierzchołek, zacznij od postaci kanonicznej . Gdy znasz miejsca zerowe, zacznij od postaci iloczynowej . W obu przypadkach współczynnik wyznaczysz z jeszcze jednego punktu wykresu. Gdy masz trzy dowolne punkty, podstaw je do postaci ogólnej i rozwiąż układ równań. Wszystkie trzy sposoby są w dziale C.
Co oznacza ujemna delta?
Jeśli , równanie kwadratowe nie ma rozwiązań w zbiorze liczb rzeczywistych, a parabola nie przecina osi . Cały wykres leży nad osią, gdy , albo pod nią, gdy . Funkcja nie ma wtedy postaci iloczynowej, ale ma wierzchołek i postać kanoniczną.
Jakie zadania z funkcji kwadratowej są na maturze?
Na poziomie podstawowym typowe są: wierzchołek i oś symetrii paraboli, zbiór wartości i przedziały monotoniczności, miejsca zerowe, przejście między postaciami funkcji, wyznaczanie wzoru z wykresu lub z podanych punktów oraz wartość największa i najmniejsza w przedziale, także w zadaniach tekstowych. Na poziomie rozszerzonym dochodzą wzory Viète'a i równania kwadratowe z parametrem. Filtr „Rozszerzone” nad zadaniami pokazuje tylko zadania z tego poziomu.