Nierówności kwadratowe - zadania z rozwiązaniami krok po kroku
27 zadań z nierówności kwadratowych, od prostego po nierówności z parametrem. Na początku jest metoda w czterech krokach i tabela, która pokazuje, co zrobić przy delcie dodatniej, równej zeru i ujemnej. Najpierw spróbuj sam, a jeśli utkniesz, otwórz wskazówkę. Rozwiązanie pokazuje każde przekształcenie, a przy wielu zadaniach także wykres z zaznaczonym zbiorem rozwiązań. Zadania z poziomu rozszerzonego mają przy tytule znak R.
Rozwiązania krok po kroku: https://tablicematematyczne.pl/zadania/nierownosci-kwadratowe
Widoczne zadania: 27 z 27
Jak rozwiązać nierówność kwadratową
Nierówność kwadratowa to nierówność, którą da się zapisać w postaci , gdzie . Zamiast znaku może stać , albo . Lewa strona to funkcja kwadratowa, a jej wykresem jest parabola. Rozwiązać nierówność znaczy więc znaleźć te argumenty , dla których parabola leży nad osią albo pod nią. Liczy się tylko miejsca zerowe, a resztę odczytuje się ze szkicu.
Krok 1. Zero po jednej stronie. Przenieś wszystkie wyrazy na lewą stronę i uporządkuj je do postaci . Wymnóż nawiasy, jeśli jakieś są.
Krok 2. Miejsca zerowe. Rozwiąż równanie . Najczęściej przez deltę, ale gdy brakuje wyrazu albo , szybciej jest wyłączyć przed nawias lub użyć wzoru na różnicę kwadratów.
Krok 3. Szkic paraboli. Zaznacz miejsca zerowe na osi i narysuj parabolę z ramionami w górę, gdy , albo w dół, gdy . Wierzchołka nie trzeba liczyć.
Krok 4. Odczytanie wyniku. Przy znaku lub bierzesz te , dla których parabola jest nad osią, a przy lub te, dla których jest pod osią. Przy i miejsca zerowe należą do rozwiązania, więc przedziały są przy nich domknięte.
Nierówność : miejsca zerowe to i , a parabola leży nad osią na zewnątrz nich. Zbiór rozwiązań to . Puste kółka oznaczają, że końce nie należą do zbioru.
Gdy delta nie jest dodatnia, parabola dotyka osi w jednym punkcie albo w ogóle jej nie przecina. Wtedy zbiorem rozwiązań bywa cała prosta, jeden punkt albo zbiór pusty. Tabela zbiera wszystkie przypadki dla . Oznaczenia: to dwa miejsca zerowe, a to jedyne miejsce zerowe przy . Gdy , najprościej pomnożyć nierówność przez i odwrócić jej znak.
Zbiór rozwiązań dla
Delta
Tabeli nie trzeba się uczyć na pamięć. Każdy wiersz da się odczytać ze szkicu paraboli, a zadania z działów A i B pokazują to na przykładach. Wzory na deltę i pierwiastki znajdziesz na stronach wzór na deltę i wzór na pierwiastki równania kwadratowego.
A. Nierówności kwadratowe krok po kroku
W tych zadaniach delta jest dodatnia, więc parabola przecina oś w dwóch punktach. Zmienia się kierunek ramion, znak nierówności i to, czy pierwiastki wychodzą całkowite. Odpowiedź zawsze jest jednym przedziałem między miejscami zerowymi albo sumą dwóch przedziałów na zewnątrz nich.
B. Nierówności kwadratowe z deltą równą zeru i ujemną
Tu najczęściej padają błędne odpowiedzi, bo nie ma dwóch miejsc zerowych, między którymi można by wziąć przedział. Szkic paraboli rozstrzyga każdy przypadek: jeśli dotyka osi w jednym punkcie albo leży cała nad lub pod osią, odpowiedź widać od razu.
W obu przypadkach delta jest ujemna. Sama delta nie wystarczy do odpowiedzi: sprawdź jeszcze, w którą stronę idą ramiona.
Rozwiązanie krok po kroku
a) Brak miejsc zerowych i ramiona w górę, więc cała parabola jest nad osią.
a) Nierówność jest spełniona zawsze.
b) Brak miejsc zerowych i ramiona w dół, więc cała parabola jest pod osią.
b) Lewa strona jest zawsze ujemna, więc nigdy nie jest większa ani równa zeru.
Wykres z przykładu b). Nawet wierzchołek leży pod osią, więc nierówność nie ma rozwiązań.
Odpowiedź „delta ujemna, więc brak rozwiązań” jest poprawna tylko w części przypadków. W przykładzie a) delta też jest ujemna, a rozwiązaniem jest każda liczba rzeczywista.
C. Nierówności niezupełne i nierówności wymagające przekształceń
Nie każda nierówność od razu wygląda na kwadratową. Czasem trzeba wymnożyć nawiasy albo pozbyć się ułamków, a czasem brakuje wyrazu lub i delta tylko wydłuża rachunki. Zasada jest ta sama: najpierw zero po jednej stronie, potem miejsca zerowe i szkic.
Na maturze podstawowej nierówność kwadratowa pojawia się niemal co roku, zwykle jako zadanie otwarte za 2 punkty. Wraca też w zadaniach zamkniętych, przy dziedzinie funkcji i w układach nierówności. Te zadania są ułożone w stylu arkuszy CKE.
Zadanie 15. Zbiór rozwiązań nierówności iloczynowej
Zbiorem wszystkich rozwiązań której nierówności jest przedział ?
A.
B.
C.
D.
Wskazówka
Końce przedziału to miejsca zerowe, więc szukasz nawiasów i . Przedział domknięty między miejscami zerowymi oznacza, że parabola jest tam pod osią lub na niej.
Rozwiązanie krok po kroku
Nawiasy, które dają miejsca zerowe i . Odpada B, bo ma miejsca zerowe i .
Ramiona w górę, pod osią między miejscami zerowymi.
A daje przedziały na zewnątrz. D też: po pomnożeniu przez zmienia się w , czyli w nierówność A.
Na rysunku przedstawiono wykres funkcji kwadratowej . Punkty przecięcia wykresu z osią i wierzchołek paraboli mają całkowite współrzędne. Odczytaj z wykresu zbiór rozwiązań nierówności i nierówności , a następnie wyznacz wzór funkcji w postaci iloczynowej.
Wskazówka
Zbiory rozwiązań odczytasz bez żadnych obliczeń: sprawdź, gdzie wykres jest nad osią, a gdzie pod nią. Do wzoru potrzebne są miejsca zerowe i jeszcze jeden punkt, na przykład wierzchołek.
Rozwiązanie krok po kroku
Dane odczytane z wykresu.
Wykres jest nad osią lub na niej między miejscami zerowymi.
Pod osią na zewnątrz miejsc zerowych, bez końców.
Współczynnik z wierzchołka. Wynik ujemny zgadza się z ramionami w dół.
Oba zbiory rozwiązań razem dają całą oś liczbową, bo każda liczba spełnia dokładnie jedną z nierówności i . To dobry sposób, żeby sprawdzić nawiasy przy końcach.
Wykaż, że dla każdej liczby rzeczywistej prawdziwa jest nierówność .
Wskazówka
Przenieś na lewą stronę i dopełnij wyrażenie do kwadratu różnicy.
Rozwiązanie krok po kroku
Nierówność równoważna danej.
Rozbijamy 5 na i zwijamy wzór skróconego mnożenia.
Kwadrat jest nieujemny, więc lewa strona jest zawsze co najmniej 1.
Można też użyć delty: trójmian ma i dodatni współczynnik przy , więc cała parabola leży nad osią. W dowodzie trzeba zapisać oba argumenty: ujemną deltę i znak .
Zadania z parametrem pojawiają się na maturze rozszerzonej. Zwykle trzeba przetłumaczyć warunek z treści na warunki dla delty i dla współczynnika . Jeśli parametr stoi przy , osobno sprawdza się przypadek, w którym nierówność przestaje być kwadratowa.
Słowa „co najmniej” i „nie więcej niż” w treści zadania oznaczają nierówność. Jeśli wielkość, o którą pytają, zależy od zmiennej kwadratowo, powstaje nierówność kwadratowa. Na końcu trzeba jeszcze sprawdzić, czy wynik ma sens: czas i długości nie mogą być ujemne.
Kamień wyrzucono pionowo w górę. Jego wysokość w metrach po sekundach opisuje wzór . Przez ile sekund kamień znajduje się na wysokości co najmniej 20 metrów?
Wskazówka
Zapisz nierówność , przenieś 20 na lewą stronę i podziel przez . Pamiętaj o zmianie znaku.
Rozwiązanie krok po kroku
Warunek z treści.
Dzielimy przez i odwracamy znak.
Miejsca zerowe 1 i 4, ramiona w górę.
Czas przebywania powyżej 20 m to długość przedziału.
Przerywana linia to wysokość 20 m. Kamień jest nad nią od pierwszej do czwartej sekundy.
Wynik ma sens fizyczny: kamień jest w powietrzu od do , a przedział mieści się w tym czasie.
Odpowiedź: Przez 3 sekundy, od 1. do 4. sekundy lotu.
Sklep sprzedaje dziennie 100 sztuk pewnego produktu po 20 zł. Właściciel ustalił, że każda podwyżka ceny o 1 zł zmniejsza sprzedaż o 4 sztuki dziennie. O ile złotych można podnieść cenę, żeby dzienny przychód wynosił co najmniej 2016 zł?
Wskazówka
Przy podwyżce o zł cena wynosi , a sprzedaż sztuk. Przychód to iloczyn ceny i liczby sprzedanych sztuk.
Rozwiązanie krok po kroku
Podwyżka nie jest ujemna, a sprzedaż musi być dodatnia.
Przychód jako funkcja podwyżki.
Warunek z treści.
Dzielimy przez i odwracamy znak.
Sprawdzenie: przy podwyżce o 1 zł przychód wynosi zł, a przy podwyżce o 4 zł zł. Bez podwyżki sklep zarabia tylko 2000 zł, więc cena musi wzrosnąć o co najmniej złotówkę.
Odpowiedź: Cenę można podnieść o co najmniej 1 zł i co najwyżej 4 zł, czyli do kwoty od 21 zł do 24 zł.
Z nierówności nie da się wyciągnąć pierwiastka tak jak z równania. Wynik trzeba odczytać ze szkicu paraboli , która jest pod osią między a .
x² < 16 daje x ∈ (−4, 4), a x² > 16 daje x ∈ (−∞, −4) ∪ (4, +∞).
Kierunek ramion wzięty z pamięci
Reguła „przy znaku mniejszości bierzemy środek” działa tylko dla . Przy ujemnym ramiona idą w dół i wszystko się odwraca. Znak współczynnika przy trzeba sprawdzić za każdym razem.
−x² + 4x + 5 > 0 daje przedział (−1, 5), a nie dwa przedziały na zewnątrz.
Brak zmiany znaku po mnożeniu przez liczbę ujemną
Mnożenie lub dzielenie obu stron przez liczbę ujemną odwraca znak nierówności. Łatwo o tym zapomnieć, gdy ktoś chce pozbyć się minusa przy .
−x² + x + 6 ≥ 0 po pomnożeniu przez −1 to x² − x − 6 ≤ 0, a nie ≥ 0.
Dzielenie przez x
Nie wiadomo, czy jest dodatni, ujemny czy równy zeru, więc nie wiadomo, czy trzeba odwrócić znak. Dzielenie przez gubi część rozwiązań. Bezpieczniej jest wyłączyć przed nawias.
3x² ≤ 12x daje x ∈ [0, 4], a nie x ≤ 4.
„Delta ujemna, więc brak rozwiązań”
Ujemna delta oznacza tylko, że parabola nie przecina osi. Odpowiedzią może być wtedy zarówno zbiór pusty, jak i wszystkie liczby rzeczywiste. Rozstrzyga znak i znak nierówności.
x² + x + 1 > 0 jest spełniona dla każdego x, choć Δ = −3.
Nawiasy przy końcach przedziałów
Przy znakach i miejsca zerowe należą do rozwiązania i przedział jest przy nich domknięty. Przy nieskończoności nawias jest zawsze otwarty, niezależnie od znaku nierówności.
Zawsze rysuj szkic. Wystarczy oś, dwa punkty i łuk w dobrą stronę. W zadaniu otwartym za 2 punkty pierwszy punkt zwykle przyznaje się już za poprawne miejsca zerowe, a szkic pokazuje egzaminatorowi, skąd wziął się przedział w odpowiedzi.
Sprawdź wynik jedną liczbą. Wybierz prostą liczbę z odpowiedzi, na przykład 0, i wstaw ją do nierówności z treści. Jeśli jej nie spełnia, pomyliłeś stronę osi albo znak.
Przy ujemnym a pomnóż przez −1. Po zmianie znaku nierówności ramiona zawsze idą w górę i wystarczy jedna reguła: znak daje przedział między pierwiastkami, a znak dwa przedziały na zewnątrz.
Nie licz delty, gdy nie musisz. Nierówność w postaci iloczynowej pokazuje miejsca zerowe od razu, a przy brakującym wyrazie lub szybciej jest wyłączyć czynnik przed nawias. Wzory na deltę i pierwiastki są w tablicach maturalnych CKE, więc na egzaminie masz je pod ręką.
Pytania o nierówności kwadratowe
Jak rozwiązać nierówność kwadratową?
Przenieś wszystkie wyrazy na jedną stronę, tak żeby po drugiej zostało zero. Oblicz miejsca zerowe trójmianu, na przykład z delty. Naszkicuj parabolę: ramiona w górę, gdy , i w dół, gdy . Z wykresu odczytaj, gdzie parabola leży nad osią (znak lub ), a gdzie pod nią (znak lub ). Cały przykład jest w zadaniu 1.
Kiedy przedział jest domknięty, a kiedy otwarty?
Przy znakach i miejsca zerowe należą do rozwiązania, więc przedziały są przy nich domknięte. Przy znakach i miejsca zerowe odpadają i przedziały są otwarte. Przy nieskończoności nawias jest zawsze otwarty.
Co zrobić, gdy delta jest ujemna?
Parabola nie przecina wtedy osi , więc cała leży nad osią (gdy ) albo cała pod nią (gdy ). Odpowiedzią jest zbiór wszystkich liczb rzeczywistych albo zbiór pusty. Na przykład jest spełniona dla każdego , a nie ma rozwiązań (zadanie 8).
Co zrobić, gdy delta jest równa zeru?
Trójmian jest wtedy kwadratem, na przykład . Parabola dotyka osi w jednym punkcie. Dla rozwiązaniem są wszystkie liczby oprócz 3, dla wszystkie liczby rzeczywiste, dla zbiór pusty, a dla tylko liczba 3. Wszystkie cztery przypadki są w zadaniu 7.
Jak rozwiązać nierówność x² < 16?
Zapisz ją jako , czyli . Parabola ma ramiona w górę i miejsca zerowe oraz , więc jest pod osią między nimi. Rozwiązaniem jest przedział . Zapis jest błędny, co pokazuje zadanie 10.
Jakie nierówności kwadratowe są na maturze?
Na maturze podstawowej zwykle pojawia się jedno zadanie otwarte za 2 punkty z poleceniem „rozwiąż nierówność” oraz zadania zamknięte, w których trzeba wskazać zbiór rozwiązań albo liczbę rozwiązań całkowitych. Nierówności kwadratowe wracają też przy dziedzinie funkcji i w zadaniach tekstowych. Na poziomie rozszerzonym dochodzą nierówności z parametrem, zebrane w dziale E.