Logarytmy - zadania z rozwiązaniami krok po kroku

Q: Jak obliczyć logarytm bez kalkulatora?

Oznacz szukany logarytm literą, na przykład x, i zamień go na równanie potęgowe z definicji: log_a b = x oznacza a^x = b. Potem zapisz obie strony jako potęgi tej samej liczby i porównaj wykładniki. Przykład: log_4 8 = x, więc 4^x = 8, czyli 2^(2x) = 2^3, skąd x = 3/2.

Q: Jaka jest dziedzina logarytmu?

Wyrażenie log_a b ma sens, gdy liczba logarytmowana jest dodatnia (b > 0), a podstawa jest dodatnia i różna od 1 (a > 0 i a ≠ 1). Jeśli w podstawie lub pod logarytmem jest niewiadoma, te warunki wyznaczają dziedzinę równania albo funkcji.

Co trzeba umieć przed rozwiązywaniem zadań

Logarytm to wykładnik, do którego trzeba podnieść podstawę , żeby otrzymać liczbę . Podstawa musi być dodatnia i różna od 1, a liczba logarytmowana dodatnia. Prawie każde zadanie poniżej sprowadza się do jednego z sześciu wzorów. Kliknij wzór, jeśli chcesz zobaczyć jego wyprowadzenie i dodatkowe przykłady.

Definicja Logarytm iloczynu Logarytm ilorazu Logarytm potęgi Zmiana podstawy Logarytm w wykładniku

A. Obliczanie logarytmów z definicji

Tu nie potrzeba żadnych wzorów poza definicją. Szukany logarytm oznaczamy literą i zapisujemy równanie potęgowe. Zwykle wystarczy potem przedstawić obie strony jako potęgi tej samej liczby.

Zadanie 1. Dwa logarytmy z definicji

1 pkt #

Oblicz oraz .

Zadanie 2. Logarytm o podstawie ułamkowej

1 pkt #

Oblicz .

Zadanie 3. Pierwiastek w podstawie

1 pkt #

Oblicz .

Zadanie 4. Wynik, który nie jest liczbą całkowitą

1 pkt #

Oblicz .

Zadanie 5. Porównywanie trzech logarytmów

1 pkt #

Dane są liczby , oraz . Wskaż poprawną nierówność.

A.
B.
C.
D.

B. Działania na logarytmach

W większości tych zadań pojedyncze logarytmy mają niewymierne wartości, a liczba całkowita wychodzi po połączeniu ich w jeden logarytm. Wzory na sumę i różnicę logarytmów działają tylko przy tej samej podstawie.

Zadanie 6. Suma logarytmów

1 pkt #

Oblicz .

Zadanie 7. Różnica logarytmów

1 pkt #

Oblicz .

Zadanie 8. Współczynnik przed logarytmem

2 pkt #

Oblicz .

Zadanie 9. Iloczyn logarytmów o różnych podstawach

2 pkt #

Oblicz .

Zadanie 10. Logarytm w wykładniku

1 pkt #

Oblicz .

Zadanie 11. Logarytm wyrażony przez dane

1 pkt #

Wiadomo, że i . Liczba jest równa:

A.
B.
C.
D.

Zadanie 12. Zmiana podstawy z parametrem R

3 pkt #

Wiedząc, że , wyraź za pomocą .

C. Dziedzina i funkcja logarytmiczna - zadania

Każdy logarytm z niewiadomą narzuca warunki: liczba logarytmowana musi być dodatnia, a podstawa dodatnia i różna od 1. Z tych warunków bierze się dziedzina funkcji, a później także dziedzina równań i nierówności.

Zadanie 13. Dziedzina funkcji logarytmicznej R

2 pkt #

Wyznacz dziedzinę funkcji .

Zadanie 14. Niewiadoma w podstawie i pod logarytmem R

3 pkt #

Wyznacz zbiór wszystkich liczb , dla których wyrażenie ma sens.

Zadanie 15. Podstawa z punktu na wykresie R

2 pkt #

Wykres funkcji przechodzi przez punkt . Wyznacz podstawę i oblicz .

Zadanie 16. Własności przesuniętej funkcji R

3 pkt #

Dana jest funkcja . Wyznacz jej dziedzinę, miejsce zerowe, równanie asymptoty pionowej i punkt przecięcia wykresu z osią .

D. Równania logarytmiczne - zadania

Równanie logarytmiczne rozwiązuje się zwykle tak: wyznacz dziedzinę, sprowadź każdą stronę do jednego logarytmu i zamień równanie na potęgowe. Na końcu sprawdź, czy otrzymane liczby należą do dziedziny. W zadaniach 18 i 20 jedno z rozwiązań odpada właśnie na tym etapie.

Zadanie 17. Najprostsze równanie logarytmiczne R

2 pkt #

Rozwiąż równanie .

Zadanie 18. Suma logarytmów z niewiadomą R

3 pkt #

Rozwiąż równanie .

Zadanie 19. Równanie z kwadratem logarytmu R

3 pkt #

Rozwiąż równanie .

Zadanie 20. Niewiadoma w podstawie logarytmu R

2 pkt #

Rozwiąż równanie .

Zadanie 21. Równanie wykładnicze rozwiązane logarytmem

1 pkt #

Rozwiąż równanie .

E. Nierówności logarytmiczne - zadania

Nierówności rozwiązuje się tak samo jak równania, ale gdy podstawa leży między 0 a 1, funkcja logarytmiczna jest malejąca i przy przejściu do nierówności potęgowej trzeba odwrócić znak.

Zadanie 22. Podstawa mniejsza od 1 R

2 pkt #

Rozwiąż nierówność .

Zadanie 23. Nierówność z trójmianem pod logarytmem R

4 pkt #

Rozwiąż nierówność .

F. Zadania tekstowe i dowody

Logarytm jest potrzebny, gdy niewiadoma stoi w wykładniku, na przykład przy procencie składanym. Na logarytmie opiera się też skala pH z zadania 25. W maturalnych zadaniach tekstowych zwykle podaje się przybliżone wartości potrzebnych logarytmów.

Zadanie 24. Po ilu latach lokata się podwoi?

3 pkt #

Pani Anna wpłaciła pieniądze na lokatę oprocentowaną 8% w skali roku z roczną kapitalizacją odsetek. Po ilu pełnych latach kwota na lokacie po raz pierwszy przekroczy dwukrotność wpłaty? Przyjmij i .

Zadanie 25. pH roztworu

2 pkt #

Odczyn roztworu opisuje wzór , gdzie to stężenie jonów wodorowych w mol/dm³. Oblicz pH roztworu, w którym . Przyjmij . Czy roztwór jest kwasowy?

Zadanie 26. Dowód: iloczyn logarytmów o zamienionych podstawach

2 pkt #

Wykaż, że dla dowolnych liczb i dodatnich i różnych od 1 zachodzi równość .

Najczęstsze błędy w zadaniach z logarytmów

Rozbijanie logarytmu sumy

Wzór dotyczy iloczynu. Logarytmu sumy nie da się rozłożyć żadnym wzorem.

Źle: log₂(4 + 4) = log₂4 + log₂4 = 4. Dobrze: log₂(4 + 4) = log₂8 = 3.

Pominięta dziedzina

Po połączeniu logarytmów równanie często ma więcej rozwiązań niż wyjściowe. Bez sprawdzenia dziedziny zostają w odpowiedzi liczby, dla których logarytmy nie istnieją. Tak jest w zadaniach 18 i 20.

log₂x + log₂(x − 2) = 3 daje x = 4 lub x = −2, ale log₂(−2) nie istnieje.

Znak nierówności przy podstawie mniejszej od 1

Dla podstawy z przedziału (0, 1) funkcja logarytmiczna jest malejąca. Większy logarytm oznacza wtedy mniejszą liczbę logarytmowaną, więc znak trzeba odwrócić.

log₁/₂(x − 1) > log₁/₂4 prowadzi do x − 1 < 4, a nie do x − 1 > 4.

Łączenie logarytmów o różnych podstawach

Wzory na sumę i różnicę działają tylko wtedy, gdy podstawy są takie same. Przy różnych podstawach najpierw trzeba użyć wzoru na zmianę podstawy.

Źle: log₂3 + log₃2 = log₆6. Te logarytmy nie mają wspólnej podstawy.

Mylenie kwadratu logarytmu z logarytmem kwadratu

to , a to . Te wyrażenia mają różne wartości, więc wzór na logarytm potęgi stosuje się tylko do drugiego z nich.

Dla x = 8: (log₂8)² = 9, a log₂8² = 2 · 3 = 6.

Porady do zadań z logarytmami

Dziedzinę zapisuj na samym początku. Gdy zostawisz ją na koniec, łatwo o niej zapomnieć albo wyznaczyć ją z przekształconego równania, co daje zły wynik.

Znaj na pamięć kilka potęg. Potęgi dwójki do 1024, trójki do 243 i piątki do 625 pozwalają policzyć większość logarytmów maturalnych w pamięci.

Wynik sprawdzaj potęgowaniem. Jeśli wyszło , policz . Jeżeli wyjdzie 8, wynik jest dobry.

W zadaniach zamkniętych nie zgaduj. Odpowiedzi są dobrane tak, żeby typowe błędy prowadziły do któregoś z błędnych wariantów. Bezpieczniej jest policzyć każdą liczbę, niż szacować na oko.

Pytania o logarytmy

Jak obliczyć logarytm bez kalkulatora?

Oznacz szukany logarytm literą, na przykład , i zamień go na równanie potęgowe z definicji: oznacza . Potem zapisz obie strony jako potęgi tej samej liczby i porównaj wykładniki. Przykład: , więc , czyli , skąd .

Jak rozwiązywać równania logarytmiczne?

Zacznij od dziedziny: każda liczba logarytmowana musi być dodatnia, a podstawa dodatnia i różna od 1. Następnie połącz logarytmy w jeden, korzystając z wzorów na logarytm iloczynu, ilorazu i potęgi, i zamień równanie na potęgowe z definicji logarytmu. Na koniec odrzuć rozwiązania spoza dziedziny. Cały schemat widać w zadaniach 17-21.

Kiedy w nierówności logarytmicznej zmienia się znak?

Znak nierówności zmienia się, gdy podstawa logarytmu leży między 0 a 1, bo wtedy funkcja logarytmiczna jest malejąca. Przy podstawie większej od 1 funkcja jest rosnąca i znak zostaje bez zmian. Porównaj zadania 22 i 23.

Jaka jest dziedzina logarytmu?

Wyrażenie ma sens, gdy liczba logarytmowana jest dodatnia (), a podstawa jest dodatnia i różna od 1 ( i ). Jeśli w podstawie lub pod logarytmem jest niewiadoma, te warunki wyznaczają dziedzinę równania albo funkcji.

Czy logarytmy są na maturze podstawowej?

Tak. Na poziomie podstawowym trzeba umieć obliczać logarytmy z definicji i korzystać z wzorów na logarytm iloczynu, ilorazu i potęgi, a także ze wzoru na zmianę podstawy, który jest w tablicach CKE. Równania i nierówności logarytmiczne oraz funkcja logarytmiczna pojawiają się głównie na poziomie rozszerzonym. Filtr „Podstawowe” nad zadaniami pokazuje tylko zadania z poziomu podstawowego.

Ile wynosi log z 1?

Logarytm z jedności przy dowolnej dopuszczalnej podstawie wynosi 0, bo każda taka podstawa podniesiona do potęgi zerowej daje 1: . Więcej na stronie logarytm jedności.

Co trzeba umieć przed rozwiązywaniem zadań

A. Obliczanie logarytmów z definicji

B. Działania na logarytmach

C. Dziedzina i funkcja logarytmiczna - zadania

D. Równania logarytmiczne - zadania

E. Nierówności logarytmiczne - zadania

F. Zadania tekstowe i dowody

Najczęstsze błędy w zadaniach z logarytmów

Rozbijanie logarytmu sumy

Pominięta dziedzina

Znak nierówności przy podstawie mniejszej od 1

Łączenie logarytmów o różnych podstawach

Mylenie kwadratu logarytmu z logarytmem kwadratu

Porady do zadań z logarytmami

Pytania o logarytmy

Wzory potrzebne do tych zadań

Pytania i odpowiedzi

Zadaj pytanie