Wzór na deltę (wyróżnik)

Delta mówi, ile rozwiązań ma równanie kwadratowe $ax^2 + bx + c = 0$ . Liczysz ją z trzech współczynników, a jej znak podpowiada, co dalej: dwa pierwiastki $x_1$ i $x_2$ , jeden pierwiastek $x_0$ albo brak rozwiązań.

\Delta = b^2 - 4ac

$\Delta > 0$ dwa pierwiastki

\displaystyle x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a}

\displaystyle x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a}

$\Delta = 0$ jeden pierwiastek

\displaystyle x_0 = \frac{-b}{2a}

$\Delta < 0$ brak pierwiastków rzeczywistych

Pierwiastek $\sqrt{\Delta}$ z liczby ujemnej nie istnieje, więc równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych.

a

b

c

to współczynniki funkcji kwadratowej

f(x) = ax^2 + bx + c

, gdzie

a \neq 0

. Te same wzory są w tablicach maturalnych CKE.

Czym jest delta?

Delta, czyli wyróżnik trójmianu kwadratowego, to liczba $\Delta = b^2 - 4ac$ . Pierwiastki równania $ax^2 + bx + c = 0$ są miejscami zerowymi funkcji $f(x) = ax^2 + bx + c$ , więc znak delty widać też na wykresie: parabola przecina oś OX w dwóch punktach, dotyka jej wierzchołkiem albo w ogóle jej nie spotyka.

Jak obliczyć deltę i pierwiastki krok po kroku

Rozwiążemy jedno równanie od początku do końca. Te same cztery kroki działają dla każdego równania kwadratowego.

Równanie

x^2 - 5x + 6 = 0

a = 1,\; b = -5,\; c = 6

\Delta = 1

x_1 = 2,\; x_2 = 3

Wypisz współczynniki a, b, c

Porównaj równanie z postacią ogólną $ax^2 + bx + c = 0$ . Współczynnik $a$ stoi przy $x^2$ , $b$ przy $x$ , a $c$ to wyraz wolny, czyli liczba bez iksa.

Współczynniki równania x² − 5x + 6 = 0

$a$ $b$ $c$

$1$ $-5$ $6$

Przed $x^2$ nie ma żadnej liczby, więc $a = 1$ . Współczynnik $a$ musi być różny od zera, bo bez niego równanie przestaje być kwadratowe. Jeśli w równaniu brakuje wyrazu z $x$ albo wyrazu wolnego, odpowiedni współczynnik jest równy 0.

Częsty błąd

Nie gub minusa przy współczynniku

Źle

$b = 5$

Dobrze

$b = -5$

Minus przed liczbą należy do współczynnika. W naszym równaniu przed $5x$ stoi minus, więc $b = -5$ . Tak samo w $-3x^2 + 2x - 1 = 0$ są to $a = -3$ , $b = 2$ i $c = -1$ .
Oblicz deltę
Podstaw współczynniki do wzoru. Liczby ujemne wpisuj w nawiasie, wtedy trudniej o pomyłkę przy podnoszeniu do kwadratu.
1. $\Delta = b^2 - 4ac$
2. $\Delta = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6$
3. $\Delta = 25 - 24 = 1$
Częsty błąd

Nie podnoś do kwadratu liczby ujemnej bez nawiasu

Źle

$-5^2 = -25$

Dobrze

$(-5)^2 = 25$

Kwadrat liczby ujemnej jest dodatni. Bez nawiasu do kwadratu idzie tylko 5, a minus zostaje przed wynikiem i psuje całe zadanie.

Częsty błąd

Nie odejmuj, zanim policzysz cały iloczyn

Źle

$\Delta = (25 - 4) \cdot 1 \cdot 6 = 126$

Dobrze

$\Delta = 25 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 1$

Mnożenie ma pierwszeństwo przed odejmowaniem. Najpierw policz $4 \cdot a \cdot c$ , a dopiero potem odejmij wynik od $b^2$ . Gdy $a$ i $c$ mają różne znaki, iloczyn jest ujemny i odejmowanie zamienia się w dodawanie.
Sprawdź znak delty

Znak delty wybiera dalszą drogę. U nas $\Delta = 1$ , więc idziemy pierwszą ścieżką. Pozostałe dwie pokazują przykłady 1 i 2 niżej na stronie.

$\Delta > 0$ Dwa pierwiastki

Nasze równanie: $\Delta = 1$

$f(x) = x^2 - 5x + 6$

Parabola przecina oś OX w dwóch punktach, więc równanie ma dwa pierwiastki $x_1$ i $x_2$ .

Rozwiązanie krok po kroku: krok 4

$\Delta = 0$ Jeden pierwiastek

$f(x) = x^2 - 6x + 9$

Parabola dotyka osi OX tylko wierzchołkiem. Pierwiastek to pierwsza współrzędna wierzchołka:
$\displaystyle x_0 = \frac{-b}{2a}$
Nazywa się go podwójnym, bo w postaci iloczynowej czynnik $(x - x_0)$ występuje dwa razy: $f(x) = a(x - x_0)^2$ .

Rozwiązanie krok po kroku: przykład 1

$\Delta < 0$ Brak pierwiastków

$f(x) = 2x^2 + 3x + 5$

Parabola nie ma z osią OX żadnego punktu wspólnego. Równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych, czyli wśród liczb, które da się zaznaczyć na osi liczbowej. Na tym kończysz zadanie.

Rozwiązanie krok po kroku: przykład 2
Oblicz pierwiastki
Najpierw policz pierwiastek z delty, bo potrzebujesz go w obu wzorach. Skoro $b = -5$ , to $-b = 5$ .
1. $\displaystyle \sqrt{\Delta} = \sqrt{1} = 1$
2. $\displaystyle x_1 = \frac{-b - \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{5 - 1}{2 \cdot 1} = 2$
3. $\displaystyle x_2 = \frac{-b + \sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{5 + 1}{2 \cdot 1} = 3$
Sprawdź wynik

Podstaw pierwiastki do równania: $2^2 - 5 \cdot 2 + 6 = 0$ i $3^2 - 5 \cdot 3 + 6 = 0$ . Szybciej pójdzie ze wzorami Viète'a: suma pierwiastków to $-\frac{b}{a} = 5$ , a iloczyn $\frac{c}{a} = 6$ . Zgadza się, bo $2 + 3 = 5$ i $2 \cdot 3 = 6$ .

Odpowiedź: równanie $x^2 - 5x + 6 = 0$ ma dwa rozwiązania: $x_1 = 2$ i $x_2 = 3$ .

Współczynniki równania x² − 5x + 6 = 0
$a$	$b$	$c$
$1$	$-5$	$6$

Przećwicz: zadania z deltą i pierwiastkami Masz już cały schemat. Sprawdź go na zadaniach z funkcji kwadratowej, każde z rozwiązaniem krok po kroku.

Więcej przykładów

Spróbuj rozwiązać każde równanie sam, a dopiero potem porównaj swój wynik z rozwiązaniem.

Przykład 1. Delta równa zero

Rozwiąż równanie $x^2 - 6x + 9 = 0$ .

Przykład 2. Delta ujemna

Rozwiąż równanie $2x^2 + 3x + 5 = 0$ .

Przykład 3. Równanie bez wyrazu wolnego

Rozwiąż równanie $3x^2 - 12x = 0$ .

Przykład 4. Zadanie z parametrem

Dla jakich wartości parametru $m$ równanie $x^2 + 4x + m = 0$ ma dwa różne rozwiązania?

Najczęstsze błędy

Unikaj ich w każdym zadaniu z deltą.

Nie gub minusa przy współczynniku: w $x^2 - 5x + 6 = 0$ jest $b = -5$ , nie 5.
Nie podnoś do kwadratu liczby ujemnej bez nawiasu: $(-5)^2 = 25$ , a $-5^2 = -25$ .
Nie odejmuj, zanim policzysz cały iloczyn: od $b^2$ odejmujesz gotowy wynik $4ac$ .
Nie licz pierwiastków przy ujemnej delcie: gdy $\Delta < 0$ , równanie nie ma rozwiązań rzeczywistych i na tym kończysz.

Przypadki szczególne

Przy niektórych równaniach wynik widać jeszcze przed liczeniem delty albo można ją w ogóle pominąć.

Brak wyrazu z x $\displaystyle b = 0 \;\Rightarrow\; \Delta = -4ac$: Równanie $ax^2 + c = 0$ łatwiej rozwiązać bez delty, przekształcając je do postaci $x^2 = -\frac{c}{a}$ . Na przykład z $x^2 - 9 = 0$ od razu wychodzi $x = -3$ lub $x = 3$ .
Brak wyrazu wolnego $\displaystyle c = 0 \;\Rightarrow\; \Delta = b^2$: Delta nie może być wtedy ujemna, a jednym z pierwiastków zawsze jest 0. Wystarczy wyłączyć $x$ przed nawias: $x(ax + b) = 0$ , czyli $x = 0$ lub $x = -\frac{b}{a}$ .
a i c o różnych znakach $\displaystyle a \cdot c < 0 \;\Rightarrow\; \Delta > 0$: Wyrażenie $-4ac$ jest wtedy dodatnie, a $b^2$ nie jest ujemne, więc delta na pewno wychodzi dodatnia. Równanie ma dwa pierwiastki i możesz to napisać bez liczenia.
Delta a wierzchołek paraboli $\displaystyle q = -\frac{\Delta}{4a}$: Delta pojawia się też we wzorze na drugą współrzędną wierzchołka paraboli. Przy $\Delta = 0$ wychodzi $q = 0$ , czyli wierzchołek leży na osi OX. Widać to na wykresie dla przypadku $\Delta = 0$ w kroku 3.

Gdzie jeszcze przydaje się delta

Przećwicz: nierówności kwadratowe 27 zadań z rozwiązaniami krok po kroku: delta dodatnia, zero i ujemna, zadania maturalne i nierówności z parametrem.

Pytania i odpowiedzi

Masz pytanie do tego wzoru albo przykładu? Zadaj je tutaj. Odpowiadają inni użytkownicy i redakcja.

Czym jest delta?

Jak obliczyć deltę i pierwiastki krok po kroku

Wypisz współczynniki a, b, c

Oblicz deltę

Sprawdź znak delty

Δ>0\Delta > 0Δ>0 Dwa pierwiastki

Δ=0\Delta = 0Δ=0 Jeden pierwiastek

Δ<0\Delta < 0Δ<0 Brak pierwiastków

Oblicz pierwiastki

Więcej przykładów

Przykład 1. Delta równa zero

Przykład 2. Delta ujemna

Przykład 3. Równanie bez wyrazu wolnego

Przykład 4. Zadanie z parametrem

Najczęstsze błędy

Przypadki szczególne

Gdzie jeszcze przydaje się delta

Pytania i odpowiedzi

Twoje pytanie

$\Delta > 0$ Dwa pierwiastki

$\Delta = 0$ Jeden pierwiastek

$\Delta < 0$ Brak pierwiastków