Wzór na prawdopodobieństwo całkowite
gdzie B1, B2, ..., Bn tworzą układ zupełny zdarzeń (podział przestrzeni Ω na rozłączne i wyczerpujące zdarzenia)
Czym jest prawdopodobieństwo całkowite?
Wzór na prawdopodobieństwo całkowite pozwala obliczyć P(A), gdy bezpośrednie obliczenie jest trudne, ale potrafimy wyznaczyć P(A) w różnych scenariuszach (warunkach). Dzielimy przestrzeń zdarzeń na rozłączne przypadki B1, B2, ..., Bn, obliczamy P(A) w każdym z nich, a następnie ważymy te prawdopodobieństwa wagami P(Bi).
Intuicyjnie: zdarzenie A może zajść "przez" dowolny ze scenariuszy Bi. Łączna szansa na A to suma szans na A w każdym scenariuszu, pomnożonych przez prawdopodobieństwo tego scenariusza. Na przykład: prawdopodobieństwo wylosowania wadliwego produktu to suma po wszystkich fabrykach: (odsetek wadliwych w fabryce i) × (udział fabryki i w produkcji).
Elementy wzoru
Prawdopodobieństwo całkowite zdarzenia A, czyli łączna szansa na zajście A we wszystkich możliwych scenariuszach. To wartość, którą chcemy obliczyć.
Prawdopodobieństwo warunkowe zdarzenia A pod warunkiem i-tego scenariusza Bi. Jak prawdopodobne jest A, gdy wiemy, że zachodzi Bi.
Prawdopodobieństwo i-tego scenariusza (waga). Określa, jak prawdopodobne jest, że znajdujemy się w scenariuszu Bi. Suma wszystkich P(Bi) = 1.
Układ zupełny zdarzeń (pełny podział przestrzeni Ω). Zdarzenia muszą być parami rozłączne (Bi∩Bj = ∅) i wyczerpujące (B1∪...∪Bn = Ω).
Interpretacja wzoru
Zamiast liczyć P(A) bezpośrednio, rozważamy wszystkie "drogi", którymi A może zajść. Każda droga prowadzi przez jeden ze scenariuszy Bi. Wkład każdej drogi to P(A|Bi) · P(Bi) - iloczyn prawdopodobieństwa scenariusza i szansy na A w tym scenariuszu.
P(A) to średnia ważona prawdopodobieństw warunkowych P(A|Bi), gdzie wagami są P(Bi). Dlatego P(A) zawsze leży między najmniejszym a największym z P(A|Bi). Nie może być większe od najlepszego ani mniejsze od najgorszego scenariusza.
Wzór odpowiada sumowaniu prawdopodobieństw ścieżek w drzewie. Pierwszy poziom to rozgałęzienie na B1, B2, ..., Bn. Drugi poziom to A lub A' w każdym scenariuszu. P(A) = suma iloczynów na ścieżkach prowadzących do A.
Wizualizacja
Poniższy wykres ilustruje wzór na prawdopodobieństwo całkowite na przykładzie dwóch fabryk. Każdy kolorowy słupek to wkład jednego scenariusza: P(A|Bi) · P(Bi). Ich suma daje całkowite P(A) - fioletowy słupek.
Wkład scenariusza B1 (fabryka 1)
Wkład scenariusza B2 (fabryka 2)
Całkowite prawdopodobieństwo = suma wkładów
Kiedy stosować ten wzór?
- Wieloetapowe doświadczenia - gdy wynik zależy od wcześniejszego, losowego etapu (np. wybór urny, potem losowanie z wybranej urny)
- Mieszanki populacji - gdy przedmioty pochodzą z różnych źródeł o różnych właściwościach (np. fabryki z różnymi odsetkami braków)
- Obliczanie mianownika we wzorze Bayesa - wzór na prawdopodobieństwo całkowite daje mianownik potrzebny do zastosowania twierdzenia Bayesa
- Drzewa decyzyjne - gdy dane są przedstawione w formie drzewa prawdopodobieństwa, P(A) to suma iloczynów na ścieżkach prowadzących do A
Przykłady obliczeniowe
Przykład 1: Dwie fabryki
Zadanie: Fabryka A produkuje 60% wszystkich żarówek, a fabryka B - 40%. Odsetek wadliwych żarówek w fabryce A wynosi 3%, a w fabryce B wynosi 5%. Losujemy jedną żarówkę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że jest wadliwa?
Rozwiązanie:
Oznaczmy: W = "żarówka wadliwa", B1 = "z fabryki A", B2 = "z fabryki B".
Odpowiedź: Prawdopodobieństwo wylosowania wadliwej żarówki wynosi 0,038 (3,8%). Obie fabryki wnoszą podobny wkład: A daje 0,018, a B daje 0,020 mimo mniejszego udziału w produkcji.
Przykład 2: Wybór urny
Zadanie: Mamy dwie urny. Urna I zawiera 3 kule białe i 2 czarne. Urna II zawiera 1 kulę białą i 4 czarne. Rzucamy monetą: jeśli wypadnie orzeł, losujemy z urny I; jeśli reszka - z urny II. Jakie jest prawdopodobieństwo wylosowania białej kuli?
Rozwiązanie:
Oznaczmy: A = "biała kula", B1 = "urna I" (orzeł), B2 = "urna II" (reszka).
Odpowiedź: Prawdopodobieństwo wylosowania białej kuli wynosi 2/5 = 0,4. Urna I daje większy wkład (3/10), bo ma więcej białych kul.
Przykład 3: Trzy poziomy przygotowania
Zadanie: Wśród studentów 20% jest doskonale przygotowanych, 50% jest średnio przygotowanych, a 30% jest słabo przygotowanych. Prawdopodobieństwo zdania egzaminu wynosi odpowiednio 0,95, 0,70 i 0,30. Jakie jest prawdopodobieństwo, że losowo wybrany student zda egzamin?
Rozwiązanie:
Oznaczmy: A = "zda egzamin", B1 = "doskonale", B2 = "średnio", B3 = "słabo".
Odpowiedź: Prawdopodobieństwo zdania egzaminu wynosi 0,63 (63%). Największy wkład daje grupa średnio przygotowanych (0,35), bo jest najliczniejsza.
Przykład 4: Podział na dwa przypadki
Zadanie: W pudełku jest 5 kul czerwonych i 3 kule niebieskie. Losujemy jedną kulę, zapamiętujemy kolor i wkładamy z powrotem. Jeśli była czerwona, dokładamy 2 dodatkowe kule czerwone. Jeśli niebieska, dokładamy 3 dodatkowe kule niebieskie. Następnie losujemy drugą kulę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że druga kula będzie czerwona?
Rozwiązanie:
Oznaczmy: A = "druga kula czerwona", B1 = "pierwsza czerwona", B2 = "pierwsza niebieska".
Jeśli pierwsza była czerwona: pudełko ma 7 czerwonych i 3 niebieskie (10 kul).
Jeśli pierwsza była niebieska: pudełko ma 5 czerwonych i 6 niebieskich (11 kul).
Odpowiedź: Prawdopodobieństwo, że druga kula będzie czerwona, wynosi 107/176 ≈ 0,608.
Częste błędy
Niepełny podział przestrzeni
Zdarzenia B1, B2, ..., Bn muszą tworzyć układ zupełny: muszą być rozłączne i pokrywać całą przestrzeń Ω. Jeśli pominiesz jakiś scenariusz, suma P(Bi) nie wyniesie 1 i wynik będzie błędny.
Dodawanie samych P(A|Bi) bez wag
Błędem jest obliczenie P(A) = P(A|B1) + P(A|B2) + ... Prawdopodobieństwa warunkowe trzeba pomnożyć przez wagi P(Bi). Na przykład: P(A|B1) = 0,9 i P(A|B2) = 0,1 nie dają P(A) = 1,0, lecz zależy to od proporcji B1 i B2.
Mylenie P(A|Bi) z P(Bi|A)
We wzorze na prawdopodobieństwo całkowite używamy P(A|Bi), czyli prawdopodobieństwa A w scenariuszu Bi. Nie należy tego mylić z P(Bi|A), które oblicza się ze wzoru Bayesa. Kolejność warunkowania ma znaczenie.
Zdarzenia warunkujące nie są rozłączne
Jeśli scenariusze Bi nakładają się, prawdopodobieństwo A w części wspólnej zostanie policzone wielokrotnie. Upewnij się, że każdy wynik elementarny należy do dokładnie jednego scenariusza Bi.
Porady i wskazówki
Rysuj drzewo: Przy każdym zadaniu z prawdopodobieństwem całkowitym narysuj drzewo. Na gałęziach pierwszego poziomu zapisz P(Bi), na gałęziach drugiego P(A|Bi). Prawdopodobieństwo ścieżki to iloczyn, a P(A) to suma wybranych ścieżek.
Sprawdź wagi: Upewnij się, że P(B1) + P(B2) + ... + P(Bn) = 1. Jeśli suma wag nie wynosi 1, podział jest nieprawidłowy i wynik będzie błędny. To szybki test poprawności danych.
Zakres wyniku: P(A) musi leżeć między min(P(A|Bi)) a max(P(A|Bi)). Jeśli odsetek wadliwych w fabrykach wynosi 3% i 5%, to łączny odsetek musi być między 3% a 5%. Wynik poza tym zakresem oznacza błąd.
Najprostszy podział - na dwa: Najczęstszy przypadek to podział na B i B' (zdarzenie i jego dopełnienie). Wtedy: P(A) = P(A|B) · P(B) + P(A|B') · P(B'). Wystarczą tylko dwa scenariusze.
Przypadki szczególne
Podział na dwa scenariusze (B i B')
Najprostszy przypadek: dzielimy przestrzeń na zdarzenie B i jego dopełnienie B'. Daje dwa składniki sumy.
Przykład: P(biała) = P(biała|urna I) · P(urna I) + P(biała|urna II) · P(urna II).
Scenariusze równie prawdopodobne
Gdy P(B1) = P(B2) = ... = P(Bn) = 1/n, wzór redukuje się do zwykłej średniej arytmetycznej.
Przykład: Trzy urny wybierane z równym prawdopodobieństwem. P(A) = (P(A|U1) + P(A|U2) + P(A|U3)) / 3.
A niezależne od Bi
Gdy P(A|Bi) = P(A) dla każdego i, zdarzenie A jest niezależne od podziału. Wzór trywializuje się.
Związek ze wzorem Bayesa
Wzór na prawdopodobieństwo całkowite pojawia się w mianowniku wzoru Bayesa. To kluczowy krok w obliczaniu prawdopodobieństwa a posteriori.