Schemat Bernoullego
gdzie n to liczba niezależnych prób, k to liczba sukcesów, p to prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczej próbie, a (1-p) to prawdopodobieństwo porażki
Czym jest schemat Bernoullego?
Schemat Bernoullego opisuje sytuację, w której powtarzamy ten sam eksperyment losowy n razy, a każda próba kończy się jednym z dwóch wyników: sukcesem (z prawdopodobieństwem p) lub porażką (z prawdopodobieństwem q = 1 - p). Próby muszą być niezależne, co oznacza, że wynik jednej próby nie wpływa na wyniki pozostałych.
Wzór pozwala obliczyć prawdopodobieństwo uzyskania dokładnie k sukcesów w n próbach. Łączy trzy składniki: symbol Newtona (ile jest sposobów rozmieszczenia k sukcesów wśród n prób), prawdopodobieństwo k sukcesów (pk) oraz prawdopodobieństwo n-k porażek ((1-p)n-k). Schemat Bernoullego jest jednym z najczęściej stosowanych modeli w rachunku prawdopodobieństwa i stanowi podstawę rozkładu dwumianowego.
Elementy wzoru
Prawdopodobieństwo, że w n próbach wystąpi dokładnie k sukcesów. Jest to wartość z zakresu [0, 1].
Liczba niezależnych prób (powtórzeń eksperymentu). Musi być liczbą naturalną dodatnią.
Liczba sukcesów, której prawdopodobieństwo obliczamy. Spełnia warunek 0 ≤ k ≤ n.
Prawdopodobieństwo sukcesu w pojedynczej próbie. Wartość stała, taka sama w każdej próbie, z zakresu (0, 1).
Prawdopodobieństwo porażki w pojedynczej próbie, często oznaczane jako q. Zachodzi q = 1 - p.
Symbol Newtona - liczba sposobów wyboru k prób zakończonych sukcesem spośród n prób. Równy n! / (k!(n-k)!).
Interpretacja wzoru
Wzór składa się z trzech czynników: symbol Newtona C(n,k) liczy, na ile sposobów można rozmieścić k sukcesów wśród n prób. Czynnik pk to prawdopodobieństwo k sukcesów, a (1-p)n-k to prawdopodobieństwo n-k porażek. Mnożymy je, bo próby są niezależne.
Schemat Bernoullego wymaga, aby próby były niezależne - wynik jednej próby nie wpływa na wyniki pozostałych. Ponadto prawdopodobieństwo sukcesu p musi być identyczne w każdej próbie. Gdy te warunki nie są spełnione, wzór nie ma zastosowania.
Schemat Bernoullego definiuje rozkład dwumianowy (binomialny) B(n, p). Suma P(X=0) + P(X=1) + ... + P(X=n) = 1, co wynika z dwumianu Newtona: (p + (1-p))n = 1n = 1. Stąd nazwa "rozkład dwumianowy".
Wizualizacja
Poniższy wykres przedstawia rozkład prawdopodobieństwa w schemacie Bernoullego dla n = 10 prób i trzech różnych wartości prawdopodobieństwa sukcesu: p = 0,3 (przesunięty w lewo), p = 0,5 (symetryczny) i p = 0,7 (przesunięty w prawo).
Rozkład przesunięty w lewo - mało sukcesów jest bardziej prawdopodobne
Rozkład symetryczny - maksimum w k = 5
Rozkład przesunięty w prawo - dużo sukcesów jest bardziej prawdopodobne
Kiedy stosować schemat Bernoullego?
- Rzuty monetą lub kostką - obliczanie prawdopodobieństwa określonej liczby orłów w n rzutach lub określonej liczby szóstek w n rzutach kostką
- Kontrola jakości - prawdopodobieństwo znalezienia dokładnie k wadliwych sztuk w próbie n losowo wybranych produktów
- Testy wielokrotnego wyboru - szansa na zgadnięcie k poprawnych odpowiedzi w teście z n pytaniami, gdy losowo zaznaczamy jedną z opcji
- Badania medyczne i ankietowe - prawdopodobieństwo, że w grupie n losowo wybranych osób dokładnie k posiada daną cechę (np. określoną grupę krwi)
Przykłady obliczeniowe
Przykład 1: Rzut monetą
Zadanie: Rzucamy symetryczną monetą 6 razy. Jakie jest prawdopodobieństwo uzyskania dokładnie 4 orłów?
Rozwiązanie:
Mamy n = 6, k = 4, p = 1/2 (moneta symetryczna).
Obliczamy symbol Newtona:
Odpowiedź: Prawdopodobieństwo uzyskania dokładnie 4 orłów w 6 rzutach wynosi 15/64, czyli około 23,4%.
Przykład 2: Kontrola jakości
Zadanie: W fabryce 5% produktów jest wadliwych. Z partii losowo wybrano 10 sztuk. Jakie jest prawdopodobieństwo, że dokładnie 1 z nich jest wadliwa?
Rozwiązanie:
Mamy n = 10, k = 1, p = 0,05 (prawdopodobieństwo wady).
Odpowiedź: Prawdopodobieństwo znalezienia dokładnie 1 wadliwego produktu w próbie 10 sztuk wynosi około 31,5%.
Przykład 3: Test wielokrotnego wyboru
Zadanie: Test składa się z 5 pytań, każde z 4 odpowiedziami (jedna poprawna). Uczeń losowo zaznacza odpowiedzi. Jakie jest prawdopodobieństwo, że trafi dokładnie 3 poprawne odpowiedzi?
Rozwiązanie:
Mamy n = 5, k = 3, p = 1/4 = 0,25.
Odpowiedź: Prawdopodobieństwo trafienia dokładnie 3 z 5 odpowiedzi wynosi 45/512, czyli około 8,8%. Losowe zgadywanie rzadko daje tak dobry wynik.
Przykład 4: Rzuty wolne w koszykówce
Zadanie: Koszykarz trafia rzuty wolne ze skutecznością 80%. Wykonuje 8 rzutów. Jakie jest prawdopodobieństwo, że trafi dokładnie 6?
Rozwiązanie:
Mamy n = 8, k = 6, p = 0,8.
Odpowiedź: Prawdopodobieństwo, że koszykarz trafi dokładnie 6 z 8 rzutów wolnych, wynosi około 29,4%.
Częste błędy
Stosowanie wzoru przy zależnych próbach
Schemat Bernoullego wymaga niezależności prób. Jeśli losujemy kule z urny BEZ zwracania, próby nie są niezależne (bo skład urny zmienia się po każdym losowaniu). W takim przypadku zamiast schematu Bernoullego należy użyć rozkładu hipergeometrycznego lub bezpośrednio rachunku kombinatorycznego.
Zamiana p i (1-p) we wzorze
Trzeba konsekwentnie stosować p jako prawdopodobieństwo sukcesu. Jeśli sukces to "wada produktu" z p = 0,05, to porażka (brak wady) ma prawdopodobieństwo 0,95. Zamiana tych wartości zmienia wynik. Zawsze na początku jasno zdefiniuj, co jest sukcesem.
Zapominanie o symbolu Newtona
Częstym błędem jest obliczenie samego pk · (1-p)n-k bez mnożenia przez C(n,k). Ten iloczyn to prawdopodobieństwo jednego konkretnego ciągu wyników (np. SSPPPS...), ale sukcesy mogą wystąpić na różnych pozycjach - i właśnie C(n,k) liczy te rozmieszczenia.
Mylenie "dokładnie k" z "co najmniej k"
Wzór P(X=k) daje prawdopodobieństwo DOKŁADNIE k sukcesów. Prawdopodobieństwo "co najmniej k" to P(X ≥ k) = P(X=k) + P(X=k+1) + ... + P(X=n). Przy obliczaniu "co najmniej" często wygodniej użyć dopełnienia: P(X ≥ k) = 1 - P(X ≤ k-1).
Porady i wskazówki
Sprawdź trzy warunki: Zanim zastosujesz schemat Bernoullego, upewnij się, że: (1) jest stała liczba prób n, (2) każda próba ma dokładnie dwa możliwe wyniki, (3) prawdopodobieństwo p jest takie samo w każdej próbie, (4) próby są niezależne.
Dopełnienie do jedynki: Zamiast obliczać P(X ≥ 1) = P(X=1) + P(X=2) + ... + P(X=n), prościej obliczyć P(X ≥ 1) = 1 - P(X=0) = 1 - (1-p)n. Podobnie P(X ≥ 2) = 1 - P(X=0) - P(X=1). Metoda dopełnienia oszczędza wiele obliczeń.
Wartość oczekiwana i wariancja: W schemacie Bernoullego oczekiwana liczba sukcesów wynosi E(X) = n · p, a wariancja D2(X) = n · p · (1-p). Te wzory pozwalają szybko ocenić, ile sukcesów "spodziewamy się" uzyskać.
Symetria wzoru: Prawdopodobieństwo k sukcesów przy p jest takie samo jak n-k sukcesów przy 1-p. Formalnie: B(k; n, p) = B(n-k; n, 1-p). Ta własność pozwala czasem uprościć obliczenia, zamieniając mniejsze p na większe.
Przypadki szczególne
Symetryczna moneta: p = 1/2
Gdy p = 1/2, rozkład jest symetryczny względem n/2. Każdy ciąg wyników ma takie samo prawdopodobieństwo (1/2)n, więc wzór upraszcza się.
Przykład: Przy 4 rzutach monetą P(X=2) = C(4,2)/16 = 6/16 = 3/8.
Brak sukcesów: k = 0
Prawdopodobieństwo, że w n próbach nie wystąpi żaden sukces. Symbol Newtona C(n,0) = 1 i p0 = 1, więc wzór redukuje się do samej potęgi (1-p).
Przykład: Prawdopodobieństwo braku wadliwych w próbie 20 sztuk (p=0,05): P(X=0) = 0,9520 ≈ 0,358.
Same sukcesy: k = n
Prawdopodobieństwo, że każda z n prób kończy się sukcesem. Symbol Newtona C(n,n) = 1 i (1-p)0 = 1.
Przykład: Prawdopodobieństwo trafienia 5/5 rzutów wolnych (p=0,8): P(X=5) = 0,85 ≈ 0,328.
Jedna próba: n = 1
Pojedyncza próba Bernoullego - najprostszy przypadek. X przyjmuje wartość 1 (sukces) z prawdopodobieństwem p lub 0 (porażka) z prawdopodobieństwem 1-p.
Jest to rozkład zero-jedynkowy, podstawowy składnik schematu Bernoullego.