Wzór ogólny ciągu arytmetycznego

Wzór ogólny pozwala obliczyć dowolny wyraz ciągu arytmetycznego od razu, bez wypisywania wszystkich poprzednich. Potrzebujesz tylko dwóch liczb: pierwszego wyrazu $a_1$ i różnicy $r$ .

a_n = a_1 + (n - 1) \cdot r

różnica ciągu

r = a_{n+1} - a_n

od dowolnego wyrazu

a_n = a_k + (n - k) \cdot r

suma n pierwszych wyrazów

\displaystyle S_n = \frac{(a_1 + a_n) \cdot n}{2}

a_n

to wyraz o numerze

n

a_1

to pierwszy wyraz, a

r

to różnica ciągu, czyli liczba, którą dodajesz, żeby przejść do następnego wyrazu. Numer

n

jest liczbą naturalną: 1, 2, 3 i tak dalej.

Czym jest ciąg arytmetyczny?

Ciąg arytmetyczny to ciąg liczb, w którym każdy następny wyraz powstaje z poprzedniego przez dodanie tej samej liczby $r$ . W ciągu 2, 5, 8, 11, 14 dodajesz za każdym razem 3, więc $r = 3$ . Różnica może też być ujemna (ciąg 10, 7, 4, 1 ma $r = -3$ ) albo równa zeru.

Piąty wyraz łatwo policzyć, dodając różnicę kilka razy. Przy dwudziestym albo setnym takie dodawanie zajmuje dużo czasu i łatwo się w nim pomylić. Wzór ogólny skraca to do jednego działania: do pierwszego wyrazu dodajesz różnicę pomnożoną przez liczbę kroków, które dzielą $a_1$ od $a_n$ .

Jak obliczyć wyraz ciągu arytmetycznego krok po kroku

Ciąg zaczyna się od wyrazów 2, 5, 8, 11, 14. Policzymy jego dwudziesty wyraz bez dopisywania piętnastu kolejnych. Tych samych pięciu kroków użyjesz przy każdym ciągu arytmetycznym.

Ciąg

2,\ 5,\ 8,\ 11,\ 14,\ \ldots \qquad a_{20} = \,?

a_1 = 2,\; r = 3

n - 1 = 19

a_{20} = 59

Odczytaj pierwszy wyraz i różnicę
Pierwszy wyraz odczytujesz wprost. Różnicę dostajesz, gdy od drugiego wyrazu odejmiesz pierwszy.
1. $a_1 = 2$
2. $r = a_2 - a_1 = 5 - 2 = 3$
Sprawdź to na dalszych parach: $8 - 5 = 3$ i $11 - 8 = 3$ . Różnica wszędzie wychodzi taka sama, więc ciąg jest arytmetyczny.

Częsty błąd

Nie odejmuj w odwrotnej kolejności

Źle

$r = 2 - 5 = -3$

Dobrze

$r = 5 - 2 = 3$

Różnica to zawsze następny wyraz minus poprzedni. Gdy odwrócisz kolejność, zmieni się znak i z ciągu rosnącego zrobi się malejący.
Policz, ile razy dodasz różnicę
Żeby dojść od $a_1$ do $a_2$ , dodajesz $r$ raz. Do $a_3$ dodajesz je dwa razy, a do $a_5$ cztery razy. Kroków jest zawsze o jeden mniej, niż wynosi numer wyrazu, bo pierwszy wyraz już masz i niczego do niego nie dodajesz.
1. $n - 1 = 20 - 1 = 19$
Każdy słupek to jeden wyraz. Na dole zawsze leżą 2 kratki pierwszego wyrazu, a nad nimi bloki po 3 kratki, po jednym na każdy krok. Słupek $a_5$ ma 4 bloki, więc $a_5 = 2 + 4 \cdot 3 = 14$ .

Częsty błąd

Nie mnóż różnicy przez numer wyrazu

Źle

$a_{20} = 2 + 20 \cdot 3$

Dobrze

$a_{20} = 2 + 19 \cdot 3$

Zamiast $n - 1$ łatwo wpisać samo $n$ . Sprawdź to na rysunku: dla $n = 5$ wyszłoby $2 + 5 \cdot 3 = 17$ , a piąty słupek ma 14 kratek.
Podstaw do wzoru i policz
Wpisz do wzoru $a_1 = 2$ , $n = 20$ i $r = 3$ . Najpierw wykonaj mnożenie, dopiero potem dodawanie.
1. $a_{20} = 2 + (20 - 1) \cdot 3$
2. $a_{20} = 2 + 19 \cdot 3 = 2 + 57$
3. $a_{20} = 59$
Częsty błąd

Nie dodawaj pierwszego wyrazu przed mnożeniem

Źle

$a_{20} = (2 + 19) \cdot 3 = 63$

Dobrze

$a_{20} = 2 + 19 \cdot 3 = 59$

Mnożenie wykonuje się przed dodawaniem, więc $19 \cdot 3$ liczysz osobno. Liczba 63 nie może nawet być wyrazem tego ciągu: każdy jego wyraz daje resztę 2 z dzielenia przez 3, a 63 dzieli się przez 3 bez reszty.
Odczytaj, co mówi znak różnicy

Znak $r$ mówi, czy ciąg rośnie, czy maleje. U nas $r = 3$ jest dodatnie, więc każdy wyraz jest o 3 większy od poprzedniego. Ciąg malejący pokazuje przykład 1 niżej na stronie.

$r > 0$ Ciąg rosnący

Nasz ciąg: $r = 3$

$2,\ 5,\ 8,\ 11,\ 14$

Każdy następny wyraz jest większy od poprzedniego, więc słupki rosną w prawo.

Sprawdzenie wyniku: krok 5

$r = 0$ Ciąg stały

$8,\ 8,\ 8,\ 8,\ 8$

Wszystkie wyrazy są równe pierwszemu, bo dodajesz zero. Wzór daje wtedy $a_n = a_1$ dla każdego $n$ .

Przypadek szczególny: ciąg stały

$r < 0$ Ciąg malejący

$14,\ 11,\ 8,\ 5,\ 2$

Każdy następny wyraz jest mniejszy od poprzedniego. Dalsze wyrazy takiego ciągu w końcu stają się ujemne.

Rozwiązanie krok po kroku: przykład 1
Sprawdź wynik wzorem na każdy wyraz
Podstaw do wzoru tylko $a_1$ i $r$ , a $n$ zostaw jako literę. Dostaniesz jeden krótki wzór na wszystkie wyrazy tego ciągu.
1. $a_n = 2 + (n - 1) \cdot 3$
2. $a_n = 2 + 3n - 3$
3. $a_n = 3n - 1$
Sprawdź na wyrazach, które znasz

Dla $n = 1$ wzór daje $3 \cdot 1 - 1 = 2$ , a dla $n = 5$ daje $3 \cdot 5 - 1 = 14$ . To pierwszy i piąty wyraz z zadania, więc wzór się zgadza. Teraz dwudziesty wyraz: $a_{20} = 3 \cdot 20 - 1 = 60 - 1 = 59$ Wychodzi tyle samo co w kroku 3.

Odpowiedź: dwudziesty wyraz ciągu 2, 5, 8, 11, 14, … to $a_{20} = 59$ .

Więcej przykładów

Najpierw rozwiąż każde zadanie sam, a dopiero potem porównaj wynik z rozwiązaniem.

Przykład 1. Ciąg malejący

Ciąg arytmetyczny zaczyna się od wyrazów 40, 36, 32. Oblicz jego piętnasty wyraz.

Przykład 2. Pierwszy wyraz i różnica z dwóch wyrazów

W ciągu arytmetycznym $a_3 = 7$ i $a_7 = 19$ . Oblicz pierwszy wyraz i różnicę ciągu.

Przykład 3. Czy liczba jest wyrazem ciągu

Ciąg arytmetyczny ma pierwszy wyraz $a_1 = 2$ i różnicę $r = 5$ . Sprawdź, czy liczby 47 i 100 są jego wyrazami.

Przykład 4. Czy ciąg jest arytmetyczny

Ciąg jest określony wzorem $a_n = 5n - 3$ . Sprawdź, czy jest arytmetyczny. Jeśli tak, podaj jego pierwszy wyraz i różnicę.

Najczęstsze błędy

Unikaj ich w każdym zadaniu z ciągiem arytmetycznym.

Nie odejmuj w odwrotnej kolejności: różnica to następny wyraz minus poprzedni, $r = 5 - 2 = 3$ .
Nie mnóż różnicy przez numer wyrazu: do $a_{20}$ prowadzi 19 kroków, więc $a_{20} = 2 + 19 \cdot 3$ .
Nie dodawaj pierwszego wyrazu przed mnożeniem: $2 + 19 \cdot 3 = 59$ , a nie 63.

Przypadki szczególne

W tych sytuacjach wzór się upraszcza albo wygodniej użyć jego innej postaci.

Ciąg stały $\displaystyle r = 0 \;\Rightarrow\; a_n = a_1$: Gdy różnica jest równa zeru, iloczyn $(n - 1) \cdot 0$ znika i każdy wyraz jest równy pierwszemu. Ciąg 8, 8, 8, … też jest arytmetyczny, choć nic się w nim nie zmienia.
Znany wyraz inny niż pierwszy $\displaystyle a_n = a_k + (n - k) \cdot r$: Nie musisz wracać do $a_1$ . Liczysz kroki od wyrazu, który znasz: jeśli $a_{10} = 29$ i $r = 3$ , to $a_{20} = 29 + 10 \cdot 3 = 59$ , tak jak w naszym zadaniu.
Liczby nieparzyste $\displaystyle a_n = 1 + (n - 1) \cdot 2 = 2n - 1$: Kolejne liczby nieparzyste tworzą ciąg o $a_1 = 1$ i $r = 2$ . Pięćdziesiąta liczba nieparzysta to $2 \cdot 50 - 1 = 99$ .
Ciąg a funkcja liniowa $\displaystyle a_n = r \cdot n + (a_1 - r)$: Po wymnożeniu nawiasu wzór ogólny ma postać funkcji liniowej, w której zamiast $x$ stoi numer wyrazu. Punkty $(n, a_n)$ leżą więc na jednej prostej, a różnica $r$ jest jej współczynnikiem kierunkowym. Dla naszego ciągu to prosta $y = 3x - 1$ .

Powiązane wzory

Pytania i odpowiedzi

Masz pytanie do tego wzoru albo przykładu? Zadaj je tutaj. Odpowiadają inni użytkownicy i redakcja.

Czym jest ciąg arytmetyczny?

Jak obliczyć wyraz ciągu arytmetycznego krok po kroku

Odczytaj pierwszy wyraz i różnicę

Policz, ile razy dodasz różnicę

Podstaw do wzoru i policz

Odczytaj, co mówi znak różnicy

r>0r > 0r>0 Ciąg rosnący

r=0r = 0r=0 Ciąg stały

r<0r < 0r<0 Ciąg malejący

Sprawdź wynik wzorem na każdy wyraz

Więcej przykładów

Przykład 1. Ciąg malejący

Przykład 2. Pierwszy wyraz i różnica z dwóch wyrazów

Przykład 3. Czy liczba jest wyrazem ciągu

Przykład 4. Czy ciąg jest arytmetyczny

Najczęstsze błędy

Przypadki szczególne

Powiązane wzory

Pytania i odpowiedzi

Twoje pytanie

$r > 0$ Ciąg rosnący

$r = 0$ Ciąg stały

$r < 0$ Ciąg malejący