Wariacje bez powtórzeń
gdzie n to liczba wszystkich elementów zbioru, k to liczba wybieranych elementów, a n! oznacza silnię liczby n
Czym są wariacje bez powtórzeń?
Wariacja bez powtórzeń to uporządkowany wybór k elementów z n-elementowego zbioru, w którym każdy element może zostać wybrany co najwyżej raz. W odróżnieniu od kombinacji, w wariacjach kolejność wybranych elementów ma znaczenie - wybór {A, B, C} i {C, B, A} to dwie różne wariacje, mimo że składają się z tych samych elementów.
Wzór na wariacje bez powtórzeń to V(n,k) = n!/(n-k)!, co można również zapisać jako iloczyn k kolejnych liczb naturalnych od n w dół: n · (n-1) · (n-2) · ... · (n-k+1). Na przykład, jeśli z 5 kandydatów wybieramy prezesa, wiceprezesa i sekretarza (k = 3), mamy V(5,3) = 5!/(5-3)! = 120/2 = 60 różnych możliwości. Wariacje stanowią pomost między permutacjami (uporządkowanie WSZYSTKICH elementów) a kombinacjami (wybór BEZ uwzględnienia kolejności).
Elementy wzoru
Liczba wariacji k-elementowych ze zbioru n-elementowego, czyli liczba uporządkowanych wyborów k różnych elementów z n dostępnych. Wynik jest zawsze liczbą naturalną dodatnią.
Liczba wszystkich dostępnych elementów zbioru, z którego dokonujemy wyboru. Musi to być liczba naturalna (n ≥ 0) i zachodzić warunek n ≥ k.
Liczba elementów, które wybieramy i układamy w określonej kolejności. Musi to być liczba naturalna spełniająca warunek 0 ≤ k ≤ n.
Silnia różnicy n-k, przez którą dzielimy n!, aby "odciąć" czynniki odpowiadające elementom, których nie wybieramy. Na przykład dla n = 5 i k = 3: (5-3)! = 2! = 2.
Interpretacja wariacji
W wariacjach liczy się nie tylko to, KTÓRE elementy wybrano, ale także w JAKIEJ KOLEJNOŚCI. Dlatego wybór {prezes: Anna, wiceprezes: Bartek} to inna wariacja niż {prezes: Bartek, wiceprezes: Anna}. To odróżnia wariacje od kombinacji.
Wariacja to kombinacja pomnożona przez liczbę permutacji wybranych elementów. Skoro k wybranych elementów można ustawić na k! sposobów, zachodzi V(n,k) = k! · C(n,k). Każda kombinacja generuje k! wariacji, bo każdą kolejność liczymy osobno.
Wzór n!/(n-k)! można rozwinąć jako n · (n-1) · (n-2) · ... · (n-k+1). Na pierwsze miejsce wybieramy spośród n elementów, na drugie z n-1 pozostałych, na trzecie z n-2 itd. Mnożymy k kolejnych czynników.
Wizualizacja
Poniższy wykres porównuje wartości wariacji V(n,k) i kombinacji C(n,k) dla ustalonego n = 8 i kolejnych wartości k. Widać, że wariacje rosną znacznie szybciej od kombinacji, ponieważ uwzględniają wszystkie możliwe kolejności wybranych elementów.
Uporządkowany wybór k z 8 elementów - rosną szybciej od kombinacji
Nieuporządkowany wybór k z 8 - mniejsze wartości, bo V(n,k) = k! · C(n,k)
Kiedy stosować wariacje bez powtórzeń?
- Przydzielanie stanowisk lub nagród - na ile sposobów z n osób można wybrać prezesa, wiceprezesa i sekretarza (kolejność przydziału ról ma znaczenie)
- Ustalanie klasyfikacji w zawodach - ile jest możliwych rozstrzygnięć podium (miejsca 1, 2, 3) w wyścigu n zawodników
- Tworzenie kodów lub haseł - ile różnych k-cyfrowych kodów PIN (bez powtórzeń cyfr) można utworzyć z n dostępnych cyfr
- Rozmieszczanie obiektów na wyróżnionych pozycjach - na ile sposobów można rozmieścić k różnych książek na k wybranych półkach z n dostępnych
Przykłady obliczeniowe
Przykład 1: Wybór zarządu
Zadanie: Z grupy 10 osób należy wybrać prezesa, wiceprezesa i skarbnika. Na ile sposobów można to zrobić?
Rozwiązanie:
Kolejność ma znaczenie - te same trzy osoby na różnych stanowiskach to inne rozwiązanie. Stosujemy wariacje bez powtórzeń (n = 10, k = 3):
Rozwijamy 10! do momentu pojawienia się 7! i skracamy:
Odpowiedź: Zarząd można wybrać na 720 różnych sposobów.
Przykład 2: Podium w zawodach
Zadanie: W biegu startuje 12 zawodników. Na ile sposobów może wyglądać podium (miejsca 1, 2 i 3)?
Rozwiązanie:
Przydzielamy konkretne miejsca (1., 2., 3.), więc kolejność ma znaczenie. Stosujemy wariacje (n = 12, k = 3):
Odpowiedź: Podium w biegu 12 zawodników może wyglądać na 1 320 różnych sposobów.
Przykład 3: Kod PIN bez powtórzeń
Zadanie: Ile różnych 4-cyfrowych kodów PIN (bez powtarzania cyfr) można utworzyć z cyfr 0-9?
Rozwiązanie:
Mamy n = 10 cyfr i wybieramy k = 4, przy czym kolejność cyfr jest istotna (1234 to inny kod niż 4321):
Odpowiedź: Można utworzyć 5 040 różnych 4-cyfrowych kodów PIN bez powtarzania cyfr.
Przykład 4: Porównanie wariacji i kombinacji
Zadanie: Z grupy 6 uczniów wybieramy 2-osobową delegację. Ile jest możliwości, gdy (a) przydzielamy role (przewodniczący i zastępca), (b) nie przydzielamy ról?
Rozwiązanie:
(a) Kolejność ma znaczenie (wariacje):
(b) Kolejność nie ma znaczenia (kombinacje):
Związek: V(6,2) = 2! · C(6,2) = 2 · 15 = 30.
Odpowiedź: Z rolami jest 30 możliwości, bez ról - 15. Wariacji jest k! = 2! = 2 razy więcej niż kombinacji.
Częste błędy
Mylenie wariacji z kombinacjami
Wariacje stosujemy, gdy kolejność MA znaczenie (np. przydzielanie stanowisk, ustalanie klasyfikacji). Kombinacje stosujemy, gdy kolejność NIE ma znaczenia (np. wybór zespołu bez ról). Wybranie Ani i Bartka na prezesa i wiceprezesa to wariacja, ale wybranie ich do komisji to kombinacja.
Mylenie wariacji z permutacjami
Permutacje dotyczą ustawienia WSZYSTKICH elementów zbioru (k = n), a wariacje - wyboru i ustawienia CZĘŚCI elementów (k ≤ n). Jeśli ustawiamy 5 z 5 książek - to permutacja. Jeśli wybieramy i ustawiamy 3 z 5 książek - to wariacja.
Zamiana n i k we wzorze
We wzorze V(n,k) parametr n to liczba WSZYSTKICH elementów (z czego wybieramy), a k to liczba WYBIERANYCH i ustawianych elementów. Zamiana tych wartości daje błędny wynik. Zawsze sprawdzaj, czy n ≥ k.
Błędne rozwijanie iloczynu
Wariację V(n,k) = n · (n-1) · ... · (n-k+1) trzeba rozwinąć jako iloczyn dokładnie k czynników. Na przykład V(8,3) = 8 · 7 · 6 (3 czynniki), a nie 8 · 7 · 6 · 5 (za dużo czynników).
Porady i wskazówki
Rozumowanie krok po kroku: Na pierwsze miejsce możesz wybrać n elementów, na drugie n-1 (bo jeden już zajęty), na trzecie n-2 itd. Mnożąc te możliwości, otrzymujesz n · (n-1) · ... · (n-k+1) = n!/(n-k)!. Ten sposób myślenia pomaga zrozumieć, skąd bierze się wzór.
Szybkie obliczanie: Zamiast liczyć pełne silnie, wypisz k kolejnych czynników malejących od n: V(8,3) = 8 · 7 · 6 = 336. Nie musisz obliczać 8! = 40 320 ani dzielić przez 5! = 120. Metoda ta jest znacznie szybsza, zwłaszcza na maturze.
Słowa kluczowe w zadaniach: Rozpoznasz wariacje po zwrotach takich jak: "na ile sposobów można wybrać i ustawić", "ile jest różnych rozstrzygnięć podium", "przydzielić stanowiska", "ustalić kolejność k z n elementów". Gdy w zadaniu jest mowa o WYBORZE CZĘŚCI elementów z uwzględnieniem KOLEJNOŚCI - to wariacja.
Zapamiętaj zależność: V(n,k) = k! · C(n,k) oraz V(n,n) = P(n) = n!. Wariacja to "kombinacja z kolejnością". Permutacja to wariacja, w której wybieramy wszystkie elementy. Te trzy wzory łatwo pomylić, ale pamiętając o ich wzajemnych zależnościach, szybko wybierzesz właściwy.
Przypadki szczególne
Wariacja przy k = n (permutacja)
Gdy wybieramy wszystkie elementy (k = n), wariacja staje się permutacją. W mianowniku pojawia się 0! = 1, więc V(n,n) = n!.
Przykład: V(4,4) = 4!/0! = 24 = 4! = P(4).
Wariacja przy k = 1
Gdy wybieramy tylko jeden element, wariacja równa się po prostu n - mamy n sposobów wybrania jednego elementu.
Przykład: V(7,1) = 7!/6! = 7. Wybranie jednego elementu z 7 to po prostu 7 możliwości.
Wariacja przy k = 0
Gdy nie wybieramy żadnego elementu, istnieje dokładnie 1 sposób - nie robienie niczego. W mianowniku mamy n!, więc wynik to 1.
Wariacja przy k = 2
Dla k = 2 wzór upraszcza się do prostego iloczynu dwóch kolejnych liczb. To częsty przypadek w zadaniach maturalnych.
Przykład: V(10,2) = 10 · 9 = 90. Na ile sposobów z 10 osób wybrać kapitana i jego zastępcę.