Twierdzenie o siecznej i stycznej
Dla punktu P zewnętrznego względem okręgu: kwadrat długości odcinka stycznej PT jest równy iloczynowi odcinków siecznej PA i PB, gdzie A, B są punktami przecięcia siecznej z okręgiem.
Czym jest twierdzenie o siecznej i stycznej?
Weźmy punkt P położony na zewnątrz okręgu. Z tego punktu możemy poprowadzić styczną, która dotyka okręgu w jednym punkcie T, oraz sieczną, która przecina okrąg w dwóch punktach A i B (A leży bliżej P). Twierdzenie mówi, że kwadrat długości odcinka stycznej |PT| jest równy iloczynowi odległości |PA| i |PB| - dwóch odcinków wyznaczonych przez sieczną.
Wielkość |PT|² = |PA|·|PB| nazywana jest potęgą punktu P względem okręgu. Ma ona tę szczególną cechę, że nie zależy od wyboru konkretnej siecznej - dla KAŻDEJ siecznej przechodzącej przez P iloczyn |PA|·|PB| daje tę samą wartość. Dzięki temu potęga punktu jest jednoznacznym „odciskiem palca” danej konfiguracji.
Twierdzenie można wyprowadzić z podobieństwa trójkątów PTA i PBT (wspólny kąt przy P, a kąty przy T i B są równe z twierdzenia o kącie między styczną a cięciwą). Jest ono potężnym narzędziem przy obliczaniu długości w konfiguracjach styczna-sieczna oraz w dowodach geometrycznych.
Elementy wzoru
Punkt zewnętrzny - punkt leżący poza okręgiem, z którego poprowadzono styczną i sieczną.
Punkt styczności - miejsce, w którym styczna dotyka okręgu. |PT| to długość odcinka stycznej.
Punkty przecięcia siecznej z okręgiem. A jest bliżej P, B dalej; |PA| i |PB| to odległości od P do tych punktów.
Kwadrat długości odcinka stycznej - równy iloczynowi |PA|·|PB|, zwany potęgą punktu P względem okręgu.
Właściwości i wnioski
Twierdzenie jest częścią szerszej koncepcji zwanej potęgą punktu względem okręgu. Oto kluczowe wnioski, które ułatwiają stosowanie wzoru:
Niezależność od wyboru siecznej
Dla dowolnej siecznej przechodzącej przez P iloczyn |PA|·|PB| jest stały. Jeśli więc z P poprowadzisz dwie różne sieczne przecinające okrąg w A, B i C, D, to:
Potęga punktu przez środek i promień
Potęgę punktu P można wyrazić także przez odległość punktu od środka okręgu i jego promień. Dla P zewnętrznego wzór przyjmuje prostą postać:
Sieczna przez środek okręgu
Gdy sieczna przechodzi przez środek O okręgu, to A i B są końcami średnicy. Wtedy |PA| = |PO| - r oraz |PB| = |PO| + r, a iloczyn redukuje się do różnicy kwadratów:
Wizualizacja
Rysunek przedstawia punkt P leżący na zewnątrz okręgu. Z P poprowadzono styczną PT oraz sieczną, która przecina okrąg w punktach A i B. Trójkąty PTA i PBT są podobne, co daje zależność |PT|² = |PA|·|PB|.
Jeden punkt styczności T, długość |PT| do kwadratu
Przecina okrąg w punktach A i B (A bliżej P)
|PT|² = |PA|·|PB| - niezmiennik dla każdej siecznej
Kiedy stosować twierdzenie?
- Obliczanie długości stycznej - gdy znasz odcinki siecznej |PA| i |PB|, natychmiast wyznaczysz |PT| = √(|PA|·|PB|).
- Wyznaczanie odcinka siecznej - mając długość stycznej i jeden z odcinków siecznej, obliczysz drugi.
- Zadania z dwiema siecznymi - równość |PA|·|PB| = |PC|·|PD| pozwala zbudować równanie łączące różne odcinki.
- Dowody podobieństwa trójkątów - twierdzenie wynika z podobieństwa PTA ~ PBT i często pomaga je udowodnić.
- Zadania rozszerzone i olimpijskie - pojęcie potęgi punktu jest stałym elementem planimetrii wyższego poziomu.
Przykłady obliczeniowe
Przykład 1: Długość stycznej
Zadanie: Z punktu P poprowadzono styczną PT oraz sieczną przecinającą okrąg w punktach A i B. Wiadomo, że |PA| = 4, |PB| = 9. Oblicz długość odcinka stycznej |PT|.
Rozwiązanie:
Z twierdzenia o siecznej i stycznej:
Odpowiedź: |PT| = 6.
Przykład 2: Wyznaczanie odcinka siecznej
Zadanie: Odcinek stycznej |PT| = 10 cm, a odcinek |PA| = 5 cm (gdzie A jest bliższym punktem przecięcia siecznej z okręgiem). Oblicz długość |PB|.
Rozwiązanie:
Z twierdzenia:
Odpowiedź: |PB| = 20 cm.
Przykład 3: Sieczna z długością cięciwy
Zadanie: Z punktu P poprowadzono sieczną, która przecina okrąg w punktach A i B. Wiadomo, że |PA| = 3 oraz cięciwa |AB| = 5. Oblicz długość odcinka stycznej z P do okręgu.
Rozwiązanie:
Punkt A leży bliżej P, więc |PB| = |PA| + |AB| = 3 + 5 = 8:
Odpowiedź: |PT| = 2√6.
Przykład 4: Dwie sieczne z tego samego punktu
Zadanie: Z punktu P poprowadzono dwie sieczne: pierwszą przecinającą okrąg w punktach A, B (|PA| = 4, |PB| = 9) oraz drugą przecinającą okrąg w punktach C, D. Wiadomo, że |PC| = 3. Oblicz |PD|.
Rozwiązanie:
Potęga punktu P względem okręgu jest taka sama dla każdej siecznej:
Odpowiedź: |PD| = 12.
Częste błędy
Mylenie |AB| z |PB|
We wzorze występują długości |PA| i |PB| mierzone od punktu P, a nie długość cięciwy |AB|. Jeśli zadanie podaje długość cięciwy, musisz dodać ją do |PA|, żeby otrzymać |PB|.
Gdy |PA| = 3 i |AB| = 5, to |PB| = 8, a nie 5.
Zapominanie o podnoszeniu do kwadratu
Po stronie stycznej jest |PT|², nie |PT|. Częsty błąd to zapisanie |PT| = |PA|·|PB|, co prowadzi do zupełnie innych wartości.
Dla |PA|·|PB| = 36 mamy |PT| = 6, a nie |PT| = 36.
Stosowanie twierdzenia do punktu wewnątrz okręgu
Wzór w tej postaci obowiązuje dla punktu zewnętrznego. Dla punktu wewnętrznego potęga punktu jest ujemna i zamiast twierdzenia o stycznej i siecznej używa się twierdzenia o dwóch cięciwach (|PA|·|PB| = |PC|·|PD|, gdzie cięciwy przecinają się w punkcie P).
Dla punktu wewnętrznego nie ma stycznej, więc |PT| nie istnieje.
Nierozróżnianie, który punkt jest bliżej
Kolejność punktów A i B ma znaczenie przy wyznaczaniu długości odcinków - A jest bliższy P, B dalszy. Pomylenie nie wpływa na iloczyn (jest przemienny), ale potrafi zepsuć rachunki geometryczne lub rysunek.
Zawsze oznaczaj bliższy punkt literą A, aby utrzymać porządek.
Porady i wskazówki
Myśl o iloczynie jako niezmienniku: Potęga punktu |PA|·|PB| jest taka sama dla każdej siecznej - to klucz do zadań, w których porównujesz kilka różnych siecznych poprowadzonych z tego samego punktu.
Sprawdzaj podobieństwo PTA ~ PBT: Dowód twierdzenia opiera się na tym, że trójkąty PTA i PBT są podobne (wspólny kąt przy P, kąt PTA = PBT z twierdzenia o kącie między styczną a cięciwą). Znając to podobieństwo, łatwiej zauważysz wzór.
Wyraź potęgę przez |PO| i r: Zamiast szukać konkretnych |PA|, |PB|, możesz używać wzoru |PT|² = |PO|² - r², jeśli w zadaniu znasz odległość P od środka okręgu.
Zapisuj sieczną jako (x)(x+c): Jeśli znasz cięciwę |AB| = c i szukasz |PA| = x, podstaw x(x+c) = |PT|². Otrzymasz równanie kwadratowe z jednym sensownym (dodatnim) rozwiązaniem.
Przypadki szczególne
Dwie sieczne zamiast stycznej i siecznej
Dla dwóch siecznych poprowadzonych z punktu P (przecinających okrąg odpowiednio w A, B oraz C, D) zachodzi równość iloczynów:
Dwie cięciwy przecinające się wewnątrz okręgu
Dla punktu P LEŻĄCEGO WEWNĄTRZ okręgu i dwóch cięciw przecinających się w P również zachodzi wzór |PA|·|PB| = |PC|·|PD|, choć znak potęgi punktu zmienia się na przeciwny.
Sieczna przechodząca przez środek okręgu
Gdy sieczna zawiera średnicę, to |PA| = |PO| − r oraz |PB| = |PO| + r, a iloczyn redukuje się do różnicy kwadratów. Pozwala to elegancko wyrazić potęgę punktu.
Dla |PO| = 13 i r = 5: |PT|² = 169 − 25 = 144, więc |PT| = 12.