Kąt między styczną a cięciwą
Kąt α między styczną a cięciwą jest równy połowie miary kąta środkowego β opartego na tej samej cięciwie - czyli połowie odcinanego przez nią łuku.
Czym jest kąt między styczną a cięciwą?
Kąt między styczną a cięciwą to kąt utworzony przez styczną do okręgu w pewnym punkcie oraz cięciwę poprowadzoną z tego samego punktu. Wierzchołek kąta leży więc na okręgu, jedno ramię jest styczną, a drugie - cięciwą kończącą się w innym punkcie okręgu.
Twierdzenie o kącie między styczną a cięciwą mówi, że miara takiego kąta jest równa połowie miary łuku, który ta cięciwa odcina po stronie kąta. Innymi słowy, kąt ten jest równy dowolnemu kątowi wpisanemu w okrąg opartemu na tej samej cięciwie od strony tego łuku.
Twierdzenie to jest bezpośrednim uogólnieniem twierdzenia o kącie wpisanym i często nazywane jest twierdzeniem o kącie dopisanym. Znajduje zastosowanie w dowodach geometrycznych, w zadaniach o okręgach stycznych oraz przy wyznaczaniu kątów w konfiguracjach styczna - sieczna.
Elementy wzoru
Miara kąta między styczną a cięciwą - kąt, którego jednym ramieniem jest styczna w punkcie A, a drugim cięciwa AB.
Miara kąta środkowego opartego na cięciwie AB, czyli miara łuku AB leżącego po stronie kąta α.
Punkt styczności - wierzchołek kąta. Leży na okręgu i jest jednocześnie końcem cięciwy oraz punktem, w którym styczna dotyka okręgu.
Cięciwa - drugie ramię kąta. Łączy punkt styczności A z innym punktem B leżącym na okręgu.
Właściwości i wnioski
Twierdzenie o kącie między styczną a cięciwą to naturalne rozszerzenie twierdzenia o kącie wpisanym - gdy jeden z punktów kąta wpisanego „zlewa się” z wierzchołkiem, a cięciwa staje się styczną, relacja α = ½β pozostaje prawdziwa.
Równość z kątem wpisanym
Kąt między styczną a cięciwą AB jest równy dowolnemu kątowi wpisanemu w okrąg opartemu na tej samej cięciwie AB po przeciwnej stronie cięciwy niż łuk odcinany kątem α.
Dwa kąty dopisane po przeciwnych stronach
Styczna w punkcie A dzieli płaszczyznę na dwie strony. Po każdej stronie cięciwy AB powstaje inny kąt między styczną a cięciwą - sumują się one do 180°, tak jak oba łuki okręgu.
Cięciwa będąca średnicą
Jeśli cięciwa AB jest średnicą okręgu, to kąt między styczną w punkcie A a tą średnicą wynosi 90° - styczna jest zawsze prostopadła do promienia (czyli także do średnicy) w punkcie styczności.
Wizualizacja
Na poniższym rysunku styczna w punkcie A oraz cięciwa AB tworzą kąt α. Ten sam łuk AB „widzi” kąt wpisany γ oparty na cięciwie AB - obie miary są sobie równe, bo każda z nich to połowa miary łuku AB.
Prosta dotykająca okręgu dokładnie w jednym punkcie A
Odcinek łączący dwa punkty okręgu
Równy kątowi wpisanemu γ opartemu na AB
Kiedy stosować twierdzenie?
- Wyznaczanie kątów w zadaniach ze styczną - gdy znasz łuk lub kąt środkowy, natychmiast obliczysz kąt między styczną a cięciwą.
- Zadania z dwoma okręgami stycznymi - pomaga powiązać kąty między wspólną styczną a cięciwami każdego z okręgów.
- Dowodzenie równości kątów - przez zrównanie kąta między styczną a cięciwą z kątem wpisanym opartym na tej samej cięciwie.
- Rozwiązywanie trójkątów wpisanych w okrąg - gdy jeden z boków jest cięciwą, a w wierzchołku poprowadzona jest styczna.
- Zadania maturalne z planimetrii - twierdzenie regularnie pojawia się w rozszerzonej maturze z matematyki.
Przykłady obliczeniowe
Przykład 1: Kąt ze znanego łuku
Zadanie: Cięciwa AB odcina w okręgu łuk o mierze 120°. W punkcie A poprowadzono styczną. Oblicz miarę kąta ostrego między styczną a cięciwą AB.
Rozwiązanie:
Z twierdzenia o kącie między styczną a cięciwą:
Odpowiedź: Kąt między styczną a cięciwą ma miarę 60°.
Przykład 2: Wyznaczanie łuku
Zadanie: Styczna do okręgu w punkcie A tworzy z cięciwą AB kąt 35°. Jaka jest miara łuku AB leżącego po stronie tego kąta?
Rozwiązanie:
Z zależności α = ½β wynika β = 2α:
Odpowiedź: Łuk AB ma miarę 70°.
Przykład 3: Kąt przy trójkącie wpisanym
Zadanie: Punkty A, B, C leżą na okręgu, przy czym kąt wpisany ACB ma miarę 42°. W punkcie A poprowadzono styczną t do okręgu. Oblicz miarę kąta między styczną t a cięciwą AB (po tej samej stronie co wierzchołek C).
Rozwiązanie:
Kąt między styczną a cięciwą AB jest równy kątowi wpisanemu opartemu na tej samej cięciwie:
Odpowiedź: Szukany kąt ma miarę 42°.
Przykład 4: Trójkąt równoboczny wpisany w okrąg
Zadanie: Trójkąt równoboczny ABC jest wpisany w okrąg. W wierzchołku A poprowadzono styczną do okręgu. Oblicz miarę kąta między styczną a bokiem AB.
Rozwiązanie:
Trójkąt równoboczny dzieli okrąg na trzy równe łuki po 120°. Bok AB odcina od strony wierzchołka C łuk o mierze 120°.
Można też zauważyć, że α jest równy kątowi wpisanemu ACB, a ten w trójkącie równobocznym wynosi 60°.
Odpowiedź: Kąt między styczną a bokiem AB ma miarę 60°.
Częste błędy
Branie niewłaściwego łuku
Cięciwa dzieli okrąg na dwa łuki. Do wzoru należy wziąć ten łuk, który leży po stronie kąta α, a nie łuk dopełniający.
Jeśli jeden łuk ma 100°, drugi ma 260°. Kąt po stronie większego łuku wynosi 130°, a po stronie mniejszego 50° - nie 50° w obu przypadkach.
Mylenie stycznej z sieczną
Twierdzenie dotyczy wyłącznie stycznej - prostej dotykającej okręgu w dokładnie jednym punkcie. Dla siecznej (przecinającej okrąg w dwóch punktach) obowiązują inne zależności.
Nie myl kąta między styczną a cięciwą z kątem między dwiema cięciwami przecinającymi się wewnątrz okręgu.
Używanie całego kąta środkowego zamiast jego połowy
Uczniowie czasem zapisują α = β zamiast α = ½β. Kąt między styczną a cięciwą jest ZAWSZE równy POŁOWIE kąta środkowego opartego na tym łuku.
Dla kąta środkowego 80° kąt dopisany wynosi 40°, a nie 80°.
Przeoczenie, że styczna jest prostopadła do promienia
Styczna w punkcie A jest zawsze prostopadła do promienia OA. Ta własność często upraszcza obliczenia - warto z niej korzystać równolegle z twierdzeniem o kącie dopisanym.
Kąt między styczną a promieniem to zawsze 90°, niezależnie od położenia punktu A.
Porady i wskazówki
Dorysuj promień OA: Promień do punktu styczności jest prostopadły do stycznej. Rozkładając kąt między cięciwą a stycznej na kąt między cięciwą a promieniem + 90°, szybko ustalisz wszystkie miary w konfiguracji.
Szukaj kąta wpisanego: Jeśli w zadaniu nie ma podanej miary łuku, poszukaj trójkąta wpisanego w okrąg - kąt przy wierzchołku naprzeciw cięciwy AB będzie równy szukanemu kątowi α.
Uważaj na stronę cięciwy: Zawsze sprawdzaj, po której stronie cięciwy rysujesz kąt - dwa kąty po przeciwnych stronach sumują się do 180°, więc pomylenie strony daje wynik dopełniający.
Granica twierdzenia o kącie wpisanym: Myśl o kącie dopisanym jak o kącie wpisanym, w którym punkt C przesunął się tak blisko A, że cięciwa AC stała się styczną. Kąt zachowuje swoją wartość - to intuicja, którą warto mieć na egzaminie.
Przypadki szczególne
Kąt oparty na ćwiartce okręgu
Jeśli cięciwa odcina ćwiartkę okręgu (łuk 90°), kąt między styczną a tą cięciwą wynosi 45°. To typowa konfiguracja w zadaniach z kwadratem wpisanym w okrąg.
Cięciwa jest średnicą
Gdy cięciwa AB jest średnicą, łuk ma miarę 180°, więc kąt między styczną a średnicą w punkcie A wynosi 90°. To po prostu prostopadłość stycznej do promienia.
Mała cięciwa blisko punktu styczności
Im krótsza cięciwa, tym mniejszy kąt między nią a styczną. W granicy, gdy punkt B zbliża się do A, cięciwa staje się styczną, a kąt dąży do zera - intuicyjna weryfikacja wzoru.
Pozwala to sprawdzić sens otrzymanych wyników: bardzo krótka cięciwa nie może dawać kąta 80°.