Okrąg wpisany w czworokąt
W czworokącie, w który można wpisać okrąg, sumy długości przeciwległych boków są równe.
Czym jest czworokąt opisany na okręgu?
Czworokąt opisany na okręgu (inaczej: czworokąt styczny) to taki czworokąt, którego wszystkie cztery boki są styczne do jednego okręgu. Okrąg ten nazywamy okręgiem wpisanym w czworokąt.
Nie każdy czworokąt może mieć okrąg wpisany. Aby okrąg wpisany istniał, sumy długości boków leżących naprzeciwko siebie muszą być równe: a + c = b + d. Jest to tak zwane twierdzenie Pitota - warunek jednocześnie konieczny i wystarczający.
Dowód wynika z własności stycznych: odcinki stycznych poprowadzone z jednego punktu do tego samego okręgu są równe. Przy wierzchołku każdego czworokąta opisanego powstają dwa równe odcinki stycznej, co po prostym sumowaniu daje równość boków. Ten warunek jest klasycznym elementem maturalnych zadań z planimetrii.
Elementy wzoru
Długości kolejnych boków czworokąta ABCD, gdzie a = |AB|, b = |BC|, c = |CD|, d = |DA|. Boki a i c oraz b i d leżą naprzeciwko siebie.
Promień okręgu wpisanego w czworokąt. Odległość środka okręgu od każdego boku jest taka sama i wynosi właśnie r.
Środek okręgu wpisanego. W czworokącie opisanym na okręgu leży na przecięciu dwusiecznych wszystkich kątów wewnętrznych.
Pole czworokąta opisanego na okręgu. Można je wyrazić wzorem P = r · s, gdzie s jest połową obwodu.
Właściwości i dowód (twierdzenie Pitota)
Warunek a + c = b + d ma elegancki dowód wynikający z faktu, że odcinki stycznych poprowadzone z jednego punktu zewnętrznego do okręgu są równe:
Twierdzenie Pitota (warunek konieczny)
Jeśli czworokąt jest opisany na okręgu, to sumy długości przeciwległych boków są równe. Oznaczając punkty styczności na bokach AB, BC, CD, DA odpowiednio jako P, Q, R, S, otrzymujemy: |AP| = |AS|, |BP| = |BQ|, |CQ| = |CR|, |DR| = |DS|. Sumując, dostajemy a + c = b + d.
Warunek wystarczający
Odwrotnie, jeśli w czworokącie wypukłym spełniony jest warunek a + c = b + d, to w ten czworokąt da się wpisać okrąg. Jest to twierdzenie odwrotne do twierdzenia Pitota, prawdziwe jedynie dla czworokątów wypukłych.
Pole czworokąta opisanego
Pole czworokąta opisanego na okręgu o promieniu r wyraża się wzorem P = r · s, gdzie s to połowa obwodu czworokąta. Wynika to z podziału czworokąta na cztery trójkąty o wspólnym wierzchołku w środku okręgu, każdy o wysokości r.
Wizualizacja
Rysunek pokazuje czworokąt ABCD z wpisanym okręgiem. Widoczne są pary przeciwległych boków, których sumy długości są równe: a + c = b + d.
Dwa przeciwległe boki
Druga para - ma taką samą sumę
Styczny do wszystkich czterech boków
Kiedy stosować warunek?
- Sprawdzanie, czy można wpisać okrąg w czworokąt - wystarczy porównać sumy przeciwległych boków.
- Obliczanie brakującego boku - gdy trzy boki są znane, czwarty wyznaczamy natychmiast z warunku a + c = b + d.
- Obliczanie pola czworokąta opisanego - przy użyciu wzoru P = r · s, gdzie s to połowa obwodu.
- Zadania z rombem i kwadratem - każdy romb i kwadrat jest czworokątem opisanym na okręgu.
- Zadania maturalne z planimetrii - warunek pojawia się regularnie w zadaniach z okręgami wpisanymi.
Przykłady obliczeniowe
Przykład 1: Obliczanie brakującego boku
Zadanie: W czworokącie ABCD opisanym na okręgu znane są boki: a = 5, b = 7, c = 9. Oblicz długość boku d.
Rozwiązanie:
Z warunku opisywalności a + c = b + d:
Odpowiedź: d = 7.
Przykład 2: Sprawdzanie wpisywalności
Zadanie: Czy w czworokąt o bokach a = 4, b = 6, c = 8, d = 6 można wpisać okrąg?
Rozwiązanie:
Porównujemy sumy przeciwległych boków:
Sumy są równe (12 = 12), więc warunek opisywalności jest spełniony.
Odpowiedź: Tak, w ten czworokąt można wpisać okrąg.
Przykład 3: Pole czworokąta opisanego na okręgu
Zadanie: Czworokąt ABCD jest opisany na okręgu o promieniu r = 3. Boki czworokąta mają długości a = 6, b = 8, c = 10, d = 8. Oblicz pole czworokąta.
Rozwiązanie:
Sprawdzamy warunek opisywalności: a + c = 6 + 10 = 16, b + d = 8 + 8 = 16. Warunek spełniony.
Obliczamy połowę obwodu:
Ze wzoru P = r · s:
Odpowiedź: Pole czworokąta wynosi 48 j².
Przykład 4: Romb jako czworokąt opisany
Zadanie: Romb o boku 10 cm jest opisany na okręgu. Pole rombu wynosi 96 cm². Oblicz promień okręgu wpisanego.
Rozwiązanie:
Romb jest czworokątem opisanym na okręgu, ponieważ wszystkie jego boki są równe, więc warunek a + c = b + d = 2 · 10 = 20 jest trywialnie spełniony.
Obwód rombu wynosi 4 · 10 = 40, więc połowa obwodu:
Ze wzoru P = r · s wyznaczamy r:
Odpowiedź: Promień okręgu wpisanego wynosi 4,8 cm.
Częste błędy
Sumowanie boków sąsiednich zamiast przeciwległych
Warunek dotyczy sum długości boków leżących naprzeciwko siebie (a i c, b i d), a nie sąsiadujących. Suma dwóch sąsiednich boków nie musi nic mówić o istnieniu okręgu wpisanego.
Poprawnie: a + c = b + d. Błędnie: a + b = c + d.
Mylenie z warunkiem na okrąg opisany
Okrąg wpisany: sumy boków a + c = b + d. Okrąg opisany: sumy kątów α + γ = β + δ = 180°. To zupełnie inne warunki i łatwo je pomylić.
Boki - okrąg wpisany. Kąty - okrąg opisany.
Zakładanie, że w każdy równoległobok można wpisać okrąg
W równoległoboku zawsze a = c oraz b = d, więc a + c = 2a i b + d = 2b. Warunek wpisywalności zachodzi tylko wtedy, gdy a = b, czyli gdy równoległobok jest rombem (lub kwadratem). Zwykłego prostokąta nie da się opisać na okręgu, bo wysokości nie są równe.
Prostokąt 2×5: a + c = 4, b + d = 10 - warunek NIE jest spełniony.
Stosowanie wzoru P = r · s do dowolnego czworokąta
Wzór P = r · s obowiązuje tylko dla czworokąta, w którym okrąg wpisany istnieje. Zanim go zastosujesz, upewnij się, że warunek a + c = b + d jest spełniony.
Porady i wskazówki
Romb zawsze działa: Każdy romb (w tym kwadrat) ma cztery równe boki, więc a + c = b + d = 2a jest spełnione automatycznie. Promień okręgu wpisanego w romb to połowa jego wysokości.
Deltoid też się kwalifikuje: Każdy wypukły deltoid (czyli czworokąt o dwóch parach równych sąsiednich boków) spełnia warunek a + c = b + d i można w niego wpisać okrąg.
Pole z promienia: Wzór P = r · s pozwala wyznaczyć pole bez liczenia kątów i wysokości. Jeśli znasz r i obwód - od razu masz pole.
Środek w przecięciu dwusiecznych: Środek okręgu wpisanego w czworokąt leży w punkcie, w którym przecinają się wszystkie cztery dwusieczne kątów wewnętrznych. W takim czworokącie te cztery dwusieczne przecinają się w jednym punkcie.
Przypadki szczególne
Kwadrat i romb
W kwadracie i rombie wszystkie boki są równe, więc warunek zachodzi trywialnie. W kwadracie o boku a promień okręgu wpisanego wynosi a/2. W rombie o polu P i boku a promień to r = P / (2a).
Deltoid wypukły
W deltoidzie o sąsiednich parach boków równych (AB = AD = a, BC = CD = b) mamy a + b = a + b, więc warunek jest spełniony. Każdy wypukły deltoid ma okrąg wpisany.
Trapez opisany na okręgu
Dla trapezu ABCD z podstawami AB = a (dłuższa) i CD = c (krótsza) oraz ramionami b, d warunek a + c = b + d daje ciekawą własność: suma podstaw równa się sumie ramion. W szczególności w trapezie równoramiennym opisanym na okręgu (b = d) mamy a + c = 2b.